Triks for faktorisering av kvadratiske ligninger

Kvadratiske ligninger er formler som kan skrives i form Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Noen ganger kan en kvadratisk ligning forenkles ved å faktorisere eller uttrykke ligningen som et produkt av separate termer. Dette kan gjøre ligningen lettere å løse. Faktorer kan noen ganger være vanskelige å identifisere, men det er triks som kan gjøre prosessen enklere.

Undersøk den kvadratiske ligningen for å bestemme om det er et tall og / eller en variabel som kan dele hvert ledd av ligningen. Tenk for eksempel på ligningen 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Det største tallet som kan dele seg jevnt i hvert ledd av ligningen er 2, så 2 er den største fellesfaktoren (GCF).

Del hvert begrep i ligningen med GCF, og multipliser hele ligningen med GCF. I eksempelligningen 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, vil dette resultere i 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Forenkle uttrykket ved å fullføre delingen i hver periode. Det skal ikke være noen brøk i den endelige ligningen. I eksemplet vil dette resultere i 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Undersøk den kvadratiske ligningen for å se om den har formen Ax ^ 2 + 0x - C = 0, hvor A = y ^ 2 og C = z ^ 2. Hvis dette er tilfelle, uttrykker den kvadratiske ligningen forskjellen på to firkanter. For eksempel i ligningen 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 og C = 9 = 3 ^ 2, så y = 2 og z = 3.

Faktorere ligningen i formen (yx + z) (yx - z) = 0. I eksempelligningen er y = 2 og z = 3; derfor er den fakturerte kvadratiske ligningen (2x + 3) (2x - 3) = 0. Dette vil alltid være den faktoriserte formen av en kvadratisk ligning som er forskjellen på kvadrater.

Undersøk den kvadratiske ligningen for å se om den er en perfekt firkant. Hvis den kvadratiske ligningen er en perfekt firkant, kan den skrives i formen y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, slik som ligningen 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, som kan skrives om som (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. I dette tilfellet er y = 2x og z = 3.

Sjekk om begrepet 2yz er positivt. Hvis begrepet er positivt, er faktorene til den perfekte kvadratiske ligningen alltid (y + z) (y + z). For eksempel, i ligningen ovenfor, er 12x positiv, derfor er faktorene (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Sjekk om begrepet 2yz er negativt. Hvis begrepet er negativt, er faktorene alltid (y - z) (y - z). For eksempel, hvis ligningen ovenfor hadde begrepet -12x i stedet for 12x, ville faktorene være (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Sett opp den fakturerte formen for kvadratiske ligningen ved å skrive (vx + w) (yx + z) = 0. Husk reglene for FOIL-multiplikasjon (First, Outside, Inside, Last). Ettersom den første betegnelsen på den kvadratiske ligningen er en Ax ^ 2, må begge faktorene i ligningen inneholde en x.

Løs for v og y ved å vurdere alle faktorene i A i den kvadratiske ligningen. Hvis A = 1, vil både v og y alltid være 1. I eksemplet ligning x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, så v og y kan løses i den fakturerte ligningen for å få (1x + w) (1x + z) = 0.

Bestem om w og z er positive eller negative. Følgende regler gjelder: C = positiv og B = positiv; begge faktorene har et + tegn C = positiv og B = negativ; begge faktorene har a - tegn C = negativ og B = positiv; faktoren med størst verdi har et + tegn C = negativ og B = negativ; faktoren med størst verdi har a - tegn I ligningen på eksempel fra trinn 2, B = -9 og C = +8, så begge faktorene i ligningen vil ha - tegn, og den fakturerte ligningen kan skrives som (1x - w) (1x - z) = 0.

Lag en liste over alle faktorene i C for å finne verdiene for w og z. I eksemplet ovenfor er C = 8, så faktorene er 1 og 8, 2 og 4, -1 og -8 og -2 og -4. Faktorene må legge seg opp til B, som er -9 i eksempelligningen, så w = -1 og z = -8 (eller omvendt) og ligningen vår er fullstendig beregnet som (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Reduser ligningen til sin enkleste form ved å bruke metoden Greatest Common Factor som er oppført ovenfor. For eksempel, i ligningen 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, er GCF 9, så ligningen forenkles til 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Tegn en rute og del den i en tabell med to rader og to kolonner. Sett Ax ^ 2 av den forenklede ligningen i rad 1, kolonne 1 og C i den forenklede ligningen i rad 2, kolonne 2.

Multipliser A med C, og finn alle faktorene til produktet. I eksemplet ovenfor er A = 1 og C = -10, så produktet er (1) (- 10) = -10. Faktorene -10 er -1 og 10, -2 og 5, 1 og -10, og 2 og -5.

Identifiser hvilke av faktorene i produktet AC som legges til B. I eksemplet er B = 3. Faktorene -10 som legger opp til 3 er -2 og 5.

Multipliser hver av de identifiserte faktorene med x. I eksemplet ovenfor vil dette resultere i -2x og 5x. Sett disse to nye begrepene i de to tomme mellomromene i diagrammet, slik at tabellen ser slik ut:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Finn GCF for hver rad og kolonne i boksen. I eksemplet er CGF for den øverste raden x, og for den nederste raden er -2. GCF for den første kolonnen er x, og for den andre kolonnen er 5.

Skriv den fakturerte ligningen i form (w + v) (y + z) ved hjelp av faktorene som er identifisert fra diagramradene for w og v, og faktorene som er identifisert fra diagrammkolonnene for y og z. Hvis ligningen ble forenklet i trinn 1, husk å inkludere ligningens GCF i det fakturerte uttrykket. I tilfelle eksemplet vil den fakturerte ligningen være 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Forsikre deg om at ligningen er i standard kvadratisk form før du begynner på noen av de beskrevne metodene.

Det er ikke alltid lett å identifisere et perfekt kvadrat eller en kvadratforskjell. Hvis du raskt kan se at den kvadratiske ligningen du prøver å faktorere er i en av disse formene, kan det være til stor hjelp. Ikke bruk mye tid på å finne ut av dette, da de andre metodene kan være raskere.

Sjekk alltid arbeidet ditt ved å multiplisere faktorene ved hjelp av FOIL-metoden. Faktorene skal alltid formere seg til den opprinnelige kvadratiske ligningen.