Absolutte verdilikninger kan være litt skremmende i begynnelsen, men hvis du holder på med det, vil du snart løse dem lett. Når du prøver å løse absoluttverdilikninger, hjelper det å huske betydningen av absolutt verdi.
Definisjon av absolutt verdi
Deabsolutt verdiav et tallx, skrevet |x|, er dens avstand fra null på en tallinje. For eksempel er −3 3 enheter unna null, så den absolutte verdien av −3 er 3. Vi skriver det slik: | −3 | = 3.
En annen måte å tenke på det er atabsolutt verdier den positive "versjonen" av et tall. Så den absolutte verdien av −3 er 3, mens den absolutte verdien av 9, som allerede er positiv, er 9.
Algebraisk kan vi skrive enformel for absolutt verdisom ser slik ut:
| x | = \ begin {cases} x & \ text {if} x≥ 0 \\ -x & \ text {if} x ≤ 0 \ end {cases}
Ta et eksempel hvorx= 3. Siden 3 ≥ 0 er absoluttverdien 3 3 (i absoluttverdinotasjon, det er: | 3 | = 3).
Nå hva omx= −3? Det er mindre enn null, så | −3 | = - (−3). Det motsatte, eller "negative" av −3 er 3, så | −3 | = 3.
Løse absoluttverdiligning
Nå for noen absolutte likninger. De generelle trinnene for å løse en absolutt verdiligning er:
Isoler uttrykket for absolutt verdi.
Løs den positive "versjonen" av ligningen.
Løs den negative "versjonen" av ligningen ved å multiplisere mengden på den andre siden av likhetstegnet med −1.
Ta en titt på problemet nedenfor for et konkret eksempel på trinnene.
Eksempel: Løs ligningen forx:
| 3 + x | - 5 = 4
Du må få | 3 +x| av seg selv på venstre side av likhetstegnet. For å gjøre dette, legg 5 til begge sider:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Løs forxsom om absoluttverditegnet ikke var der!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Det er enkelt: Bare trekk 3 fra begge sider.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Så en løsning på ligningen er atx = 6.
Start på nytt på | 3 +x| = 9. Algebraen i forrige trinn viste detxkan være 6. Men siden dette er en absolutt verdiligning, er det en annen mulighet å vurdere. I ligningen ovenfor er den absolutte verdien av "noe" (3 +x) tilsvarer 9. Visst, den absolutte verdien av positive 9 er lik 9, men det er et annet alternativ her også! Den absolutte verdien av −9 er også lik 9. Så det ukjente "noe" kunne også være lik −9.
Med andre ord:
3 + x = -9
Den raske måten å komme til denne andre versjonen er å multiplisere mengden på den andre siden av er lik fra det absolutte verdiuttrykket (9, i dette tilfellet) av −1, og løs deretter ligningen fra der.
Så:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × (-1) \\ 3 + x = -9
Trekk 3 fra begge sider for å få:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Så de to løsningene er:x= 6 ellerx = −12.
Og der har du det! Denne typen ligninger tar øvelse, så ikke bekymre deg hvis du først sliter. Fortsett med det, og det blir lettere!