Hva er ekte tall?

De reelle tallene er alle tallene på en tallinje som strekker seg fra negativ uendelig til null til positiv uendelig. Denne konstruksjonen av settet med reelle tall er ikke vilkårlig, men snarere et resultat av en evolusjon fra de naturlige tallene som brukes til telling. Systemet med naturlige tall har flere uoverensstemmelser, og etter hvert som beregningene ble mer komplekse, utvidet tallsystemet for å imøtekomme dets begrensninger. Med reelle tall gir beregninger konsistente resultater, og det er få unntak eller begrensninger som var til stede med de mer primitive versjonene av tallsystemet.

TL; DR (for lang; Leste ikke)

Settet med reelle tall består av alle tallene på en tallinje. Dette inkluderer naturlige tall, heltall, heltall, rasjonelle tall og irrasjonelle tall. Det inkluderer ikke imaginære tall eller komplekse tall.

Lukking er egenskapen til et sett med tall som betyr at hvis tillatte beregninger utføres på tall som er medlemmer av settet, vil svarene også være tall som er medlemmer av settet. Settet sies å være lukket.

Naturlige tall er tellende tall, 1, 2, 3..., og settet med naturlige tall er ikke lukket. Da naturlige tall ble brukt i handel, oppsto to problemer umiddelbart. Mens de naturlige tallene telte virkelige gjenstander, for eksempel kyr, hvis en bonde hadde fem kyr og solgte fem kyr, var det ikke noe naturlig tall for resultatet. Tidlige tallsystemer utviklet veldig raskt et begrep for null for å løse dette problemet. Resultatet var systemet med hele tall, som er de naturlige tallene pluss null.

Det andre problemet var også forbundet med subtraksjon. Så lenge tall teller virkelige gjenstander som kyr, kunne ikke bonden selge flere kyr enn han hadde. Men da tall ble abstrakte, ga trekk fra større tall fra mindre svar utenfor systemet med hele tall. Som et resultat ble heltall, som er hele tall pluss negative naturlige tall, introdusert. Tallsystemet inkluderte nå en komplett tallinje, men bare med heltall.

Beregninger i et lukket tallsystem skal gi svar innenfra tallsystemet for operasjoner som addisjon og multiplikasjon, men også for deres inverse operasjoner, subtraksjon og inndeling. Systemet med heltall er lukket for addisjon, subtraksjon og multiplikasjon, men ikke for divisjon. Hvis et helt tall er delt med et annet heltall, er ikke resultatet alltid et helt tall.

Å dele et lite heltall med et større gir en brøkdel. Slike brøker ble lagt til tallsystemet som rasjonelle tall. Rasjonelle tall er definert som et hvilket som helst tall som kan uttrykkes som et forhold på to heltall. Ethvert vilkårlig desimaltall kan uttrykkes som et rasjonelt tall. For eksempel er 2.864 2864/1000 og 0.89632 er 89632 / 100.000. Talllinjen syntes nå å være komplett.

Det er tall på tallinjen som ikke kan uttrykkes som en brøkdel av heltallene. Den ene er forholdet mellom sidene til en rettvinklet trekant og hypotenusen. Hvis to av sidene til en rettvinklet trekant er 1 og 1, er hypotenusen kvadratroten til 2. Kvadratroten på to er en uendelig desimal som ikke gjentas. Slike tall kalles irrasjonelle, og de inkluderer alle reelle tall som ikke er rasjonelle. Med denne definisjonen er tallinjen til alle reelle tall komplett fordi ethvert annet reelt tall som ikke er rasjonelt, er inkludert i definisjonen av irrasjonell.

Selv om den sanne talllinjen sies å strekke seg fra negativ til positiv uendelig, er uendelig i seg selv ikke en reelt tall, men snarere et begrep om tallsystemet som definerer det som et større enn noen Nummer. Matematisk uendelig er svaret på 1 / x når x når null, men divisjon med null er ikke definert. Hvis uendelig var et tall, ville det føre til motsetninger fordi uendelig ikke følger lovene i regning. For eksempel er uendelig pluss 1 fortsatt uendelig.

Settet med reelle tall er stengt for addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon bortsett fra divisjon med null, som ikke er definert. Settet er ikke lukket for minst en annen operasjon.

Reglene for multiplikasjon i settet med reelle tall angir at multiplikasjonen av et negativt og et positivt tall gir et negativt tall mens multiplikasjonen av positive eller negative tall gir positivt svar. Dette betyr at det spesielle tilfellet med å multiplisere et tall med seg selv gir et positivt tall for både positive og negative tall. Det motsatte av dette spesielle tilfellet er kvadratroten til et positivt tall, som gir både et positivt og et negativt svar. For kvadratroten til et negativt tall, er det ikke noe svar i settet med reelle tall.

Konseptet med settet med imaginære tall adresserer problemet med negative kvadratrøtter i de reelle tallene. Kvadratroten til minus 1 er definert som i og alle imaginære tall er multiplikasjoner av i. For å fullføre tallteori er settet med komplekse tall definert som inkludert alle reelle og alle imaginære tall. Virkelige tall kan fortsette å bli visualisert på en horisontal tallinje mens imaginære tall er en vertikal tallinje, med de to som krysser hverandre på null. Komplekse tall er punkter i planet til de to tallinjene, hver med en reell og en imaginær komponent.