En kvadratisk ligning er en som inneholder en enkelt variabel og der variabelen er kvadratisk. Standard skjema for denne typen ligning, som alltid produserer en parabel når den er tegnet, erøks2 + bx + c= 0, hvoren, bogcer konstanter. Å finne løsninger er ikke så greit som det er for en lineær ligning, og en del av grunnen er at det på grunn av kvadratuttrykket alltid er to løsninger. Du kan bruke en av tre metoder for å løse en kvadratisk ligning. Du kan faktorere begrepene, som fungerer best med enklere ligninger, eller du kan fullføre firkanten. Den tredje metoden er å bruke den kvadratiske formelen, som er en generalisert løsning på alle kvadratiske ligninger.
Den kvadratiske formelen
For en generell kvadratisk ligning av skjemaetøks2 + bx + c= 0, er løsningene gitt av denne formelen:
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Merk at ± tegnet inne i parentesene betyr at det alltid er to løsninger. En av løsningene bruker
\ frac {−b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
og den andre løsningen bruker
\ frac {−b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Bruke den kvadratiske formelen
Før du kan bruke kvadratformelen, må du sørge for at ligningen er i standardform. Det kan det ikke være. Noenx2 vilkår kan være på begge sider av ligningen, så du må samle dem på høyre side. Gjør det samme med alle x termer og konstanter.
Eksempel: Finn løsningene på ligningen
3x ^ 2 - 12 = 2x (x -1)
Utvid parentesene:
3x ^ 2 - 12 = 2x ^ 2 - 2x
Trekk 2x2 og fra begge sider. Legg til 2xtil begge sider
3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 2x ^ 2 -2x ^ 2 -2x + 2x \\ 3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 0 \\ x ^ 2 - 2x -12 = 0
Denne ligningen er i standardformøks2 + bx + c= 0 hvoren = 1, b= −2 ogc = 12
Den kvadratiske formelen er
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Sidenen = 1, b= −2 ogc= −12, dette blir
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 - 4 × 1 × (-12)}} {2 × 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {(4+ 48}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± \ sqrt {52}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± 7,21} {2} \\ \, \\ x = \ frac {9.21} {2} \ text {and} x = \ frac {−5.21} {2} \\ \, \\ x = 4.605 \ text {and} x = −2.605
To andre måter å løse kvadratiske ligninger på
Du kan løse kvadratiske ligninger ved å faktorisere. For å gjøre dette, gjetter du mer eller mindre på et par tall som, når de legges sammen, gir konstantenbog når multiplisert sammen, gi konstantenc. Denne metoden kan være vanskelig når brøker er involvert. og vil ikke fungere bra for eksemplet ovenfor.
Den andre metoden er å fullføre firkanten. Hvis du har en ligning er standardform,øks2 + bx + c= 0, settcpå høyre side og legg til begrepet (b/2)2 til begge sider. Dette lar deg uttrykke venstre side som (x + d)2, hvorder en konstant. Du kan deretter ta kvadratroten på begge sider og løse forx. Igjen er ligningen i eksemplet ovenfor lettere å løse ved hjelp av kvadratformelen.