En binomialfordeling beskriver en variabel X hvis 1) det er et fast nummer n observasjoner av variabelen; 2) alle observasjoner er uavhengige av hverandre; 3) sannsynligheten for suksess s er den samme for hver observasjon; og 4) hver observasjon representerer en av nøyaktig to mulige resultater (derav ordet "binomial" - tenk "binær"). Denne siste kvalifiseringen skiller binomialfordelinger fra Poisson-distribusjoner, som varierer kontinuerlig i stedet for diskret.
En slik fordeling kan skrives B(n, s).
Beregning av sannsynligheten for en gitt observasjon
Si en verdi k ligger et sted langs grafen for binomialfordelingen, som er symmetrisk om gjennomsnittet np. For å beregne sannsynligheten for at en observasjon vil ha denne verdien, må denne ligningen løses:
P (X = k) = (n: k) p ^ k (1-p) ^ {n-k}
hvor
(n: k) = \ frac {n!} {k! (n - k)!}
"!" betyr en faktorfunksjon, f.eks. 27! = 27 × 26 × 25 ×... × 3 × 2 × 1.
Eksempel
Si at en basketballspiller tar 24 gratiskast og har en etablert suksessrate på 75 prosent (s = 0.75). Hva er sjansen for at hun vil treffe nøyaktig 20 av sine 24 skudd?
Beregn først (n: k) som følger:
\ frac {n!} {k! (n - k)!} = \ frac {24!} {(20!) (4!)} = 10,626 \\
pk = 0,75 ^ {20} = 0,00317
(1-p) ^ {n-k} = (0,25) ^ 4 = 0,00390
Og dermed
P (20) = 10,626 × 0,00317 × 0,00390 = 0,1314
Denne spilleren har derfor en 13,1 prosent sjanse for å gjøre nøyaktig 20 av 24 gratiskast, i tråd med hva intuisjon kan foreslå om en spiller som vanligvis ville slå 18 av 24 frikast (på grunn av hennes etablerte suksessrate på 75 prosent).