Hva er forskjellen mellom et direkte og et omvendt forhold?

Å forstå forholdet mellom to variabler er målet for det meste av vitenskapen. Enten du har et bestemt vitenskapelig spørsmål i tankene som: Hva skjer med den globale temperaturen hvis mengden karbondioksid i atmosfæren øker, eller hvordan varierer tyngdekraften når du beveger deg lenger bort fra kilden, eller hvis du er mer interessert i en abstrakt matematisk setting, å finne ut forskjellen mellom direkte og invers forhold er viktig hvis du vil beskrive disse forhold. Kort sagt, direkte forhold øker eller reduseres sammen, men omvendte forhold beveger seg i motsatt retning.

TL; DR (for lang; Leste ikke)

I et direkte forhold fører en økning i den ene mengden til en tilsvarende reduksjon i den andre. Dette har den matematiske formelen y = kx, hvor k er en konstant. For en sirkel er omkrets = pi × diameter, som er et direkte forhold til pi som en konstant. En større diameter betyr større omkrets.

I et omvendt forhold fører en økning i den ene størrelsen til en tilsvarende reduksjon i den andre. Matematisk uttrykkes dette som

Forskere og matematikere som arbeider med direkte og omvendt forhold svarer på det generelle spørsmålet, hvordan gjør det y variere med x? Her, x og y stå for to variabler som i utgangspunktet kan være hva som helst. Hvordan for eksempel høyden som en ball spretter (y) avhengig av hvor høyt det er falt fra (x)? Etter konvensjon, x er den uavhengige variabelen og y er den avhengige variabelen. Så verdien av y avhenger av verdien av x, ikke omvendt, og matematikeren har litt kontroll over x (for eksempel kan hun velge høyden ballen skal slippes fra). Når det er et direkte eller omvendt forhold, x og y er proporsjonal med hverandre på en eller annen måte.

Et direkte forhold er proporsjonalt i den forstand at når den ene variabelen øker, gjør den andre også. Ved å bruke eksemplet fra den siste delen, jo høyere du slipper en ball fra, jo høyere spretter den opp igjen. En sirkel med større diameter vil ha større omkrets. Hvis du øker den uavhengige variabelen (x, som sirkelens diameter eller høyden på kulefallet), øker den avhengige variabelen også og omvendt.

Et direkte forhold er lineært. Omkretsen til en sirkel er

hvor C betyr omkrets og D betyr diameter. Pi er alltid den samme, så hvis du dobler verdien av D, verdien av C dobler også. Hvis du tegnet en graf over dette forholdet, ville det tilsvare en rett linje med null omkrets på D = 0, 3,14 kl D = 1 og 31,4 kl D = 10. Gradienten til grafen forteller deg verdien av konstanten.

Inverse forhold fungerer annerledes. Hvis du øker x, verdien av y avtar. Hvis du for eksempel beveger deg raskere til destinasjonen din, vil reisetiden reduseres. I dette eksemplet, x er din hastighet og y er reisetiden. Å doble hastigheten din halverer reisetiden, og å øke farten med ti ganger gjør reisetiden ti ganger kortere.

Matematisk har denne typen forhold formen:

hvor k er noe konstant (fyller den samme rollen som pi i eksemplet med direkte forhold). Inverse forhold er imidlertid ikke rette linjer. Når du begynner å øke x, y avtar veldig raskt, men når du fortsetter å øke x fallhastigheten på y blir tregere.

For eksempel hvis x er lengden på ett par sider av et rektangel, y er lengden på det andre sideparet, og k er området, formelen k = xy er gyldig, så y = k ÷ x. I dette tilfellet, y er omvendt relatert til x. For et område k = 12, dette gir:

Til x = 3, dette viser y = 4. Til x = 6, da y = 2. Til x = 12, da y = 1. Først en økning på 3 in x avtar y med 2, men deretter en økning på 6 in x bare avtar y innen 1. Dette er grunnen til at omvendte forhold er fallende kurver som blir grunnere jo lenger du beveger deg langs dem.

I direkte forhold, en økning i x fører til en tilsvarende stor økning i y, og en reduksjon har motsatt effekt. Dette lager en rettlinjegraf. I omvendte forhold, økende x fører til en tilsvarende reduksjon i y, og en nedgang i x fører til en økning i y. Dette lager en buet graf der nedgangen er rask i begynnelsen, men blir tregere for større verdier av x.