Bokstaven E kan ha to forskjellige betydninger i matematikk, avhengig av om det er store bokstaver E eller små bokstaver e. Du ser vanligvis hovedstaden E på en kalkulator, der det betyr å heve tallet som kommer etter den til en styrke på 10. For eksempel ville 1E6 stå for 1 × 106, eller 1 million. Normalt er bruken av E reservert for tall som vil være for lange til å vises på kalkulatorskjermen hvis de ble skrevet ut på lang sikt.
Matematikere bruker små bokstaver e for et mye mer interessant formål - for å betegne Eulers nummer. Dette tallet, som π, er et irrasjonelt tall, fordi det har en engangs desimal som strekker seg til uendelig. Som en irrasjonell person ser det ut til at et irrasjonelt tall ikke gir mening, men tallet som e betegner trenger ikke være fornuftig for å være nyttig. Faktisk er det et av de mest nyttige tallene i matematikk.
E i vitenskapelig notasjon, og betydningen av 1E6
Du trenger ikke en kalkulator for å bruke E for å uttrykke et tall i vitenskapelig notasjon. Du kan bare la E stå for baseroten til en eksponent, men bare når basen er 10. Du vil ikke bruke E til å stå for base 8, 4 eller annen base, spesielt hvis basen er Eulers nummer, f.eks.
Når du bruker E på denne måten, skriver du talletxEy, hvorxer det første settet med heltall i tallet ogyer eksponenten. For eksempel vil du skrive tallet 1 million som 1E6. I vanlig vitenskapelig notasjon er dette 1 × 106, eller 1 etterfulgt av 6 nuller. Tilsvarende ville 5 millioner være 5E6, og 42732 ville være 4,27E4. Når du skriver et tall i vitenskapelig notasjon, enten du bruker E eller ikke, avrunder du vanligvis til to desimaler.
Hvor kommer Eulers nummer, e, fra?
Antallet representert med e ble oppdaget av matematikeren Leonard Euler som en løsning på et problem som en annen matematiker, Jacob Bernoulli, stilte 50 år tidligere. Bernoullis problem var økonomisk.
Anta at du legger $ 1000 i en bank som betaler 100% årlig sammensatt rente og lar den være der i et år. Du har $ 2000. Anta nå at renten er halvparten av det, men banken betaler den to ganger i året. På slutten av et år vil du ha $ 2250. Anta nå at banken bare betalte 8,33%, som er 1/12 av 100%, men betalte den 12 ganger i året. På slutten av året vil du ha $ 2 613. Den generelle ligningen for denne progresjonen er:
\ bigg (1 + \ frac {r} {n} \ bigg) ^ n
hvorrer 1 og n er betalingsperioden.
Det viser seg at når n nærmer seg uendelig, blir resultatet nærmere og nærmere e, som er 2,7182818284 til 10 desimaler. Slik oppdaget Euler det. Maksimal avkastning du kan få på en investering på $ 1000 på ett år, vil være $ 2 718.
Eulers antall i naturen
Eksponenter med e som base er kjent som naturlige eksponenter, og her er grunnen. Hvis du tegner en graf av
y = e ^ x
du får en kurve som øker eksponentielt, akkurat som du ville gjort hvis du tegnet kurven med base 10 eller et annet tall. Imidlertid kurveny= exhar to spesielle egenskaper. For enhver verdi avx, verdien avyer lik verdien av hellingen til grafen på det punktet, og det tilsvarer også området under kurven opp til det punktet. Dette gjør e til et spesielt viktig tall i kalkulus og i alle fagområdene som bruker kalkulator.
Den logaritmiske spiralen, som er representert av ligningen
r = ae ^ {bθ}
finnes i hele naturen, i skjell, fossiler og og blomster. Videre dukker opp e i mange vitenskapelige sammenhenger, inkludert studier av elektriske kretser, lovene om oppvarming og kjøling og fjærdemping. Selv om det ble oppdaget for 350 år siden, fortsetter forskerne å finne nye eksempler på Eulers antall i naturen.