I matematikk er et gjensidighet av et tall det tallet som, multiplisert med det opprinnelige tallet, gir 1. For eksempel er gjensidigheten for variabelen x 1 /x, fordi
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
I dette eksemplet er 1 /xer den gjensidige identiteten tilx, og vice versa. I trigonometri kan en av de ikke-90-graders vinklene i en rett trekant defineres ved forhold som kalles sinus, cosinus og tangens. Matematikere bruker begrepet gjensidige identiteter og definerer tre forhold. Navnene deres er cosecant, secant og cotangent. Cosecant er den gjensidige identiteten til sinus, secant den for cosinus og cotangent den for tangens.
Hvordan bestemme gjensidige identiteter
Tenk på en vinkelθ, som er en av de to ikke-90-graders vinklene i en rett trekant. Hvis lengden på siden av trekanten motsatt vinkelen er "b, "lengden på siden ved siden av vinkelen og motsatt hypotenusene er"en"og lengden på hypotenusen er"r, "vi kan definere de tre primære trigonometriske forholdene når det gjelder disse lengdene.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {cosinus} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Den gjensidige identiteten til syndθmå være lik 1 / sin θ, siden det er tallet som multipliseres med syndθ, produserer 1. Det samme gjelder cosθog tanθ. Matematikere gir disse gjensidige navnene henholdsvis cosecant, secant og cotangent. Per definisjon:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {cotangent} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Du kan definere disse gjensidige identitetene i form av lengden på sidene av den rette trekanten som følger:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Følgende forhold gjelder for alle vinklerθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ barneseng θ = 1
To andre trigonometriske identiteter
Hvis du kjenner sinus og cosinus til en vinkel, kan du utlede tangenten. Dette er sant fordi
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {og} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, så} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Siden dette er definisjonen av tan θ, følger følgende identitet, kjent som kvotientidentiteten,:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ barneseng θ
Den pythagoreiske identiteten følger av det faktum at for enhver rett trekant med siderenogbog hypotenuser, er følgende sant:en2 + b2 = r2. Omorganisering av termer og definering av forholdstall i form av sinus og cosinus, kommer du til følgende uttrykk:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
To andre viktige forhold følger når du setter inn gjensidige identiteter for sinus og cosinus i uttrykket ovenfor:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ barneseng ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ