Hvordan forklare forskjellige typer bevis i geometri

Innse det: Bevis er ikke lett. Og i geometri ser det ut til å bli verre, ettersom du nå må gjøre bilder om til logiske utsagn, og trekke konklusjoner basert på enkle tegninger. De forskjellige typene bevis du lærer på skolen, kan være overveldende i begynnelsen. Men når du først har forstått hver type, vil det være mye lettere å pakke hodet rundt når og hvorfor du bruker forskjellige typer bevis i geometri.

Direkte bevis fungerer som en pil. Du begynner med den gitte informasjonen og bygger videre på den, og beveger deg i retning av hypotesen du ønsker å bevise. Ved å bruke det direkte beviset bruker du konklusjoner, regler fra geometri, definisjoner av geometriske former og matematisk logikk. Direkte bevis er den mest vanlige typen bevis, og for mange studenter er den bevisste stilen for å løse et geometrisk problem. Hvis du for eksempel vet at punkt C er midtpunktet på linjen AB, kan du bevise at AC = CB av ved hjelp av definisjonen av midtpunktet: Punktet som faller like langt fra hver ende av linjen segmentet. Dette arbeider med definisjonen av midtpunktet og teller som et direkte bevis.

Det indirekte beviset er som en boomerang; det lar deg reversere problemet. I stedet for å jobbe like ved utsagnene og figurene du får, endrer du problemet ved å ta utsagnet du vil bevise og anta at det ikke er sant. Derfra viser du at det umulig ikke kan være sant, noe som er nok til å bevise at det er sant. Selv om det høres forvirrende ut, kan det forenkle mange bevis som virker vanskelig å bevise gjennom et direkte bevis. Tenk deg for eksempel at du har en horisontal linje AC som går gjennom punkt B, og på punkt B er en linje vinkelrett på AC med endepunkt D, kalt linje BD. Hvis du vil bevise at målingen på vinkelen ABD er 90 grader, kan du starte med å vurdere hva det vil bety hvis målet på ABD ikke var 90 grader. Dette vil føre deg til to umulige konklusjoner: AC og BD er ikke vinkelrett og AC er ikke en linje. Men begge disse var fakta som er angitt i problemet, som er motstridende. Dette er nok til å bevise at ABD er 90 grader.

Noen ganger møter du et problem som ber deg bevise at noe ikke stemmer. I et slikt tilfelle kan du bruke lanseringsplaten til å sprenge deg bort fra å måtte håndtere problemet direkte, i stedet for å gi et moteksempel for å vise hvordan noe ikke stemmer. Når du bruker et moteksempel, trenger du bare ett godt moteksempel for å bevise poenget ditt, og beviset vil være gyldig. Hvis du for eksempel trenger å validere eller ugyldiggjøre utsagnet "Alle trapeser er parallellogrammer", trenger du bare å gi ett eksempel på en trapesform som ikke er et parallellogram. Du kan gjøre dette ved å tegne en trapesform med bare to parallelle sider. Eksistensen av formen du nettopp tegnet, vil motbevise utsagnet "Alle trapeser er parallellogrammer."

Akkurat som geometri er en visuell matematikk, er flytskjemaet, eller flytbestandig, en visuell type bevis. I et flytbestandig begynner du med å skrive ned eller tegne all informasjonen du kjenner ved siden av hverandre. Herfra gjør du slutninger, skriv dem på linjen nedenfor. Når du gjør dette, "stable" du informasjonen din, og lager noe som en opp-ned-pyramide. Du bruker informasjonen du har til å gjøre flere slutninger på linjene nedenfor til du kommer til bunns, en enkelt uttalelse som beviser problemet. For eksempel kan det hende du har en linje L som krysser gjennom punkt P på linjen MN, og spørsmålet ber deg bevise MP = PN gitt at L halverer MN. Du kan begynne med å skrive den gitte informasjonen og skrive "L halverer MN ved P" øverst. Under den skriver du informasjonen som følger av den gitte informasjonen: Halveringer produserer to kongruente segmenter av en linje. Ved siden av denne påstanden, skriv et geometrisk faktum som vil hjelpe deg med å komme til beviset; for dette problemet, hjelper det faktum at kongruente linjesegmenter er like lange. Skriv det. Under disse to opplysningene kan du skrive konklusjonen, som naturlig følger: MP = PN.