Hvordan finne vertikale og horisontale asymptoter

Når de uttrykkes i en graf, er noen funksjoner kontinuerlige fra negativ uendelig til positiv uendelig. Dette er imidlertid ikke alltid tilfelle: andre funksjoner bryter av ved et punkt med diskontinuitet, eller slår seg av og kommer aldri forbi et bestemt punkt på grafen. Vertikale og horisontale asymptoter er rette linjer som definerer verdien som en gitt funksjon nærmer seg hvis den ikke strekker seg til uendelig i motsatte retninger. Horisontale asymptoter følger alltid formelen y = C, mens vertikale asymptoter alltid følger den lignende formelen x = C, hvor verdien C representerer en hvilken som helst konstant. Å finne asymptoter, enten disse asymptotene er horisontale eller vertikale, er en enkel oppgave hvis du følger noen trinn.

For å finne en vertikal asymptote, skriv først funksjonen du ønsker å bestemme asymptoten til. Mest sannsynlig vil denne funksjonen være en rasjonell funksjon, der variabelen x er inkludert et sted i nevneren. Når nevneren til en rasjonell funksjon nærmer seg null, har den som regel en vertikal asymptote. Når du har skrevet ut funksjonen din, finn verdien av x som gjør at nevneren er lik null. For eksempel, hvis funksjonen du jobber med er y = 1 / (x + 2), vil du løse ligningen x + 2 = 0, en ligning som har svaret x = -2. Det kan være mer enn en mulig løsning for mer komplekse funksjoner.

Når du har funnet x-verdien til funksjonen din, ta grensen for funksjonen når x nærmer deg verdien du fant fra begge retninger. For dette eksemplet, når x nærmer seg -2 fra venstre, nærmer seg y negativ uendelig; når -2 nærmer seg fra høyre, nærmer seg y seg uendelig uendelig. Dette betyr at grafen for funksjonen deler seg ved diskontinuiteten, og hopper fra negativ uendelig til positiv uendelig. Hvis du jobber med en mer kompleks funksjon som har mer enn en mulig løsning, må du ta grensen for hver mulig løsning. Til slutt skriver du ligningene til funksjonens vertikale asymptoter ved å sette x lik hver av verdiene som brukes i grensene. For dette eksemplet er det bare en asymptote: gitt av ligningen er den vertikale asymptoten lik x = -2.

Mens horisontale asymptotregler kan være litt forskjellige fra vertikale asymptoter, er prosessen med å finne horisontale asymptoter like enkel som å finne vertikale. Begynn med å skrive ut funksjonen din. Horisontale asymptoter finnes i en rekke funksjoner, men de vil igjen mest sannsynlig bli funnet i rasjonelle funksjoner. For dette eksemplet er funksjonen y = x / (x-1). Ta grensen for funksjonen når x nærmer seg uendelig. I dette eksemplet kan "1" ignoreres fordi den blir ubetydelig når x nærmer seg uendelig (fordi uendelig minus 1 fortsatt er uendelig). Så funksjonen blir x / x, som tilsvarer 1. Derfor er grensen når x nærmer seg uendelig av x / (x-1) lik 1.

Bruk løsningen på grensen for å skrive asymptote-ligningen. Hvis løsningen er en fast verdi, er det en horisontal asymptote, men hvis løsningen er uendelig, er det ingen horisontal asymptote. Hvis løsningen er en annen funksjon, er det en asymptote, men den er verken horisontal eller vertikal. For dette eksemplet er den horisontale asymptoten y = 1.

Når du arbeider med problemer med trigonometriske funksjoner som har asymptoter, ikke bekymre deg: å finne asymptoter for disse funksjonene er som enkelt som å følge de samme trinnene du bruker for å finne de horisontale og vertikale asymptotene til rasjonelle funksjoner, ved hjelp av de forskjellige grenser. Men når du prøver dette, er det viktig å innse at trig-funksjoner er sykliske, og som et resultat kan ha mange asymptoter.