等比数列では、各項は前の項に共通因子と呼ばれる一定の非ゼロ乗数を掛けたものに等しくなります。 等比数列は、固定数の項を持つことも、無限にすることもできます。 いずれの場合も、等比数列の項は急速に非常に大きくなるか、非常に負になるか、ゼロに非常に近くなる可能性があります。 等差数列と比較して、項ははるかに速く変化しますが、無限の算術 シーケンスは着実に増加または減少し、等比数列は一般的なものに応じてゼロに近づく可能性があります 因子。
TL; DR（長すぎる; 読んでいない）
等比数列は、各項が前の項と共通因子と呼ばれる固定された非ゼロの乗数の積である数値の順序付きリストです。 等比数列の各項は、その前後の項の幾何平均です。 +1と-1の間の共通因子を持つ無限の等比数列は、項としてゼロの限界に近づきます +1より大きい、または-1より小さい共通因子を持つシーケンスがプラスまたはマイナスになる間に追加されます 無限大。
等比数列のしくみ
等比数列は、その開始番号によって定義されますa、共通因子rと用語の数S. 等比数列の対応する一般的な形式は次のとおりです。
a、ar、ar ^ 2、ar ^ 3、..。 、ar ^ {S-1}
用語の一般式n等比数列（つまり、そのシーケンス内の任意の用語）の次のとおりです。
a_n = ar ^ {n-1}
前の項に関して項を定義する再帰式は次のとおりです。
a_n = ra_ {n-1}
開始番号3、最大公約数2、および8項の等比数列の例は、3、6、12、24、48、96、192、384です。 上記の一般的な形式を使用して最後の用語を計算すると、用語は次のようになります。
a_8 = 3×2 ^ {8-1} = 3×2 ^ 7 = 3×128 = 384
用語4の一般式を使用する：
a_4 = 3×2 ^ {4-1} = 3×2 ^ 3 = 3×8 = 24
項5に再帰式を使用する場合は、項4 = 24であり、5 等しい：
a_5 = 2×24 = 48
等比数列のプロパティ
等比数列には、幾何平均に関する限り、特別な特性があります。 2つの数値の幾何平均は、それらの積の平方根です。 たとえば、積5×20 = 100であり、100の平方根が10であるため、5と20の幾何平均は10です。
等比数列では、各項はその前の項と後の項の幾何平均です。 たとえば、シーケンス3、6、12.. .. 上記では、6は3と12の幾何平均であり、12は6と24の幾何平均であり、24は12と48の幾何平均です。
等比数列の他のプロパティは、共通の要因に依存します。 公約数の場合rが1より大きい場合、無限の等比数列は正の無限大に近づきます。 場合rが0から1の間の場合、シーケンスはゼロに近づきます。 場合rがゼロと-1の間にある場合、シーケンスはゼロに近づきますが、項は正の値と負の値の間で交互になります。 場合rが-1未満の場合、項は正の値と負の値を交互に繰り返すため、正と負の両方の無限大に向かう傾向があります。
等比数列とその特性は、実世界のプロセスの科学的および数学的モデルで特に役立ちます。 特定のシーケンスを使用すると、特定の期間にわたって一定の速度で成長する母集団や、関心を集める投資の調査に役立ちます。 一般式と再帰式により、開始点と共通因子に基づいて将来の正確な値を予測することができます。