連立方程式を解くために最も一般的に使用される3つの方法は、置換、除去、および拡大行列です。 代入と除去は、2つの方程式のほとんどのシステムをいくつかの簡単な手順で効果的に解くことができる単純な方法です。 拡大行列の方法はより多くのステップを必要としますが、そのアプリケーションはより多様なシステムに拡張されます。
置換
代入は、方程式の1つに含まれる変数の1つを除くすべてを削除し、その方程式を解くことにより、連立方程式を解く方法です。 これは、方程式内の他の変数を分離し、これらの変数の値を他の別の方程式に置き換えることによって実現されます。 たとえば、連立方程式x + y = 4、2x-3y = 3を解くには、最初の変数xを分離します。 x = 4-yを取得する方程式を作成し、このyの値を2番目の方程式に代入して2（4-y）-3y =を取得します。 3. この方程式は、-5y = -5、またはy = 1に簡略化されます。 この値を2番目の方程式に代入して、xの値を見つけます：x + 1 = 4またはx = 3。
排除
消去は、1つの変数のみで方程式の1つを書き直すことにより、連立方程式を解くもう1つの方法です。 消去法は、変数の1つをキャンセルするために、方程式を互いに加算または減算することによってこれを実現します。 たとえば、方程式x + 2y = 3と2x-2y = 3を追加すると、新しい方程式3x = 6が生成されます（y項がキャンセルされていることに注意してください）。 次に、置換の場合と同じ方法を使用してシステムが解決されます。 方程式の変数をキャンセルできない場合は、方程式全体に係数を掛けて係数を一致させる必要があります。
拡大行列
拡大行列は、連立方程式を解くためにも使用できます。 拡大行列は、各方程式の行、各変数の列、および方程式の反対側の定数項を含む拡大列で構成されます。 たとえば、連立方程式2x + y = 4、2x --y = 0の拡大行列は、[[2 1]、[2 -1]... [4、0]]です。
ソリューションの決定
次のステップでは、行をゼロ以外の定数で乗算または除算したり、行を加算または減算したりするなど、基本的な行操作を使用します。 これらの操作の目的は、行列を行階段形に変換することです。この形式では、各行の最初のゼロ以外のエントリは1エントリです。 このエントリの上下はすべてゼロであり、各行の最初のゼロ以外のエントリは、常に行内のそのようなすべてのエントリの右側にあります。 その上。 上記の行列の行階段形は[[10]、[0 1]... [1、2]]です。 最初の変数の値は、最初の行（1x + 0y = 1またはx = 1）で指定されます。 2番目の変数の値は、2番目の行（0x + 1y = 2またはy = 2）で指定されます。
アプリケーション
代入と除去は方程式を解くためのより簡単な方法であり、基本的な代数の拡大行列よりもはるかに頻繁に使用されます。 置換方法は、変数の1つが方程式の1つですでに分離されている場合に特に役立ちます。 消去法は、変数の1つの係数がすべての方程式で同じ（またはその負の等価物）である場合に役立ちます。 拡大行列の主な利点は、置換と削除が実行不可能または不可能な状況で、3つ以上の方程式のシステムを解くために使用できることです。