n種類のアイテムがあり、それらのr個のコレクションを選択するとします。 これらのアイテムを特定の順序で並べたい場合があります。 これらのアイテムのセットを順列と呼びます。 順序が重要でない場合は、コレクションの組み合わせと呼びます。 組み合わせと順列の両方について、n個のタイプのいくつかをより多く選択する場合を考えることができます。 「繰り返しあり」と呼ばれる1回、または「いいえ」と呼ばれる各タイプを1回だけ選択する場合 繰り返し'。 目標は、特定の状況で可能な組み合わせまたは順列の数を数えることができるようにすることです。
注文と階乗
階乗関数は、組み合わせや順列を計算するときによく使用されます。 N！ N×（N–1）×...×2×1を意味します。 たとえば、5！ = 5×4×3×2×1 = 120. アイテムのセットを注文する方法の数は要因です。 a、b、cの3文字を取ります。 最初の文字には3つの選択肢があり、2番目の文字には2つ、3番目の文字には1つしかありません。 つまり、合計3×2×1 = 6の注文です。 一般的に、nがあります！ n個のアイテムを注文する方法。
繰り返しのある順列
ペイントする部屋が3つあり、それぞれが赤（r）、緑（g）、青（b）、黄色（y）、オレンジ（o）の5色のいずれかでペイントされるとします。 各色は何度でも選べます。 最初の部屋には5色、2番目の部屋には5色、3番目の部屋には5色から選択できます。 これにより、合計5×5×5 = 125の可能性が得られます。 一般に、n個の繰り返し可能な選択肢から特定の順序でr個のアイテムのグループを選択する方法の数はn ^ rです。
繰り返しのない順列
ここで、すべての部屋が異なる色になると仮定します。 最初の部屋は5色、2番目の部屋は4色、3番目の部屋は3色から選択できます。 これにより、5×4×3 = 60になります。これはたまたま5！/ 2！です。 一般に、n個の繰り返し不可能な選択肢から特定の順序でr個のアイテムを選択する独立した方法の数は、n！/（n–r）！です。
繰り返しのない組み合わせ
次に、どの部屋がどの色かを忘れます。 配色には3つの独立した色を選ぶだけです。 ここでは順序は重要ではないため、（赤、緑、青）は（赤、青、緑）と同じです。 3色のピックには3色あります！ あなたがそれらを注文することができる方法。 したがって、順列の数を3つ減らします。 5！/（2！×3！）= 10を取得します。 一般に、n！/ [（n–r）！×r！]の方法でn個の繰り返し不可能な選択肢から、r個のアイテムのグループを任意の順序で選択できます。
繰り返しとの組み合わせ
最後に、任意の色を何度でも使用できる配色を作成する必要があります。 巧妙な簿記コードは、このカウントタスクに役立ちます。 部屋を表すために3つのXを使用します。 色のリストは「rgbyo」で表されます。 Xをカラーリストに混ぜて、各Xをその左側の最初の色に関連付けます。 たとえば、rgXXbyXoは、最初の部屋が緑、2番目の部屋が緑、3番目の部屋が黄色であることを意味します。 Xには、左側に少なくとも1つの色が必要であるため、最初のXには5つの使用可能なスロットがあります。 リストにXが含まれるようになったため、2番目のXには6つの使用可能なスロットがあり、3番目のXには7つの使用可能なスロットがあります。 全部で5×6×7 = 7！/ 4！ コードを書く方法。 ただし、部屋の順番は任意なので、実際には7！/（4！×3！）のユニークな配置しかありません。 一般に、（n + r–1）！/ [（n–1）！×r！]の方法でn個の繰り返し可能な選択肢からr個のアイテムを任意の順序で選択できます。