数学では、反例は言明を反証するために使用されます。 ステートメントが真であることを証明したい場合は、それが常に真であることを証明する証拠を書く必要があります。 例をあげるだけでは不十分です。 証明を書くことに比べて、反例を書くことははるかに簡単です。 ステートメントが真ではないことを示したい場合は、ステートメントが偽であるシナリオの1つの例を提供するだけで済みます。 代数のほとんどの反例は数値操作を含みます。
数学の2つのクラス
証明を書くことと反例を見つけることは、数学の主要なクラスの2つです。 ほとんどの数学者は、新しい定理と特性を開発するために証明を書くことに焦点を合わせています。 陳述や推測が真実であると証明できない場合、数学者は反例を挙げてそれらを反証します。
反例は具体的です
変数や抽象表記を使用する代わりに、数値例を使用して引数を反証することができます。 代数では、ほとんどの反例は、異なる正と負または奇数と偶数、極端な場合、および0と1のような特別な数を使用した操作を含みます。
1つの反例で十分です
反例の哲学は、あるシナリオでステートメントが真に当てはまらない場合、ステートメントは偽であるということです。 数学以外の例は、「トムは嘘をついたことがない」です。 この声明が真実であることを示すには、トムがこれまでに行ったすべての声明を追跡することによって、トムが嘘をついたことのない「証拠」を提供する必要があります。 ただし、この声明を反証するには、トムがこれまでに話したことがある1つの嘘を示すだけで済みます。
有名な反例
「すべての素数は奇数です。」 3を超えるすべての素数を含むほとんどすべての素数は奇数ですが、「2」は偶数の素数です。 このステートメントは誤りです。 「2」は関連する反例です。
「減算は可換です。」 加算と乗算はどちらも可換です。これらは任意の順序で実行できます。 つまり、任意の実数aおよびbの場合、a + b = b + aおよびa * b = b * aです。 ただし、減算は可換ではありません。 これを証明する反例は次のとおりです。3-5は5-3と等しくありません。
「すべての連続関数は微分可能です。」 絶対関数| x | すべての正と負の数に対して連続です。 ただし、x = 0では微分可能ではありません。 | x |以降 は連続関数です。この反例は、すべての連続関数が微分可能であるとは限らないことを証明しています。