マクスウェル-ボルツマン分布：関数、派生、例

非常に小さな粒子で何が起こっているのかを説明することは、物理学における課題です。 それらのサイズは扱いにくいだけでなく、ほとんどの日常的なアプリケーションでは、単一の粒子を扱っているわけではなく、それらの無数の多くが互いに相互作用しています。

ソリッド内では、パーティクルは互いに通過しませんが、代わりにほとんど所定の位置に固定されます。 ただし、固体は温度変化に応じて膨張および収縮する可能性があり、特定の状況では結晶構造に興味深い変化を起こすことさえあります。

液体では、粒子は互いに自由に移動できます。 しかし、科学者は、個々の分子が何をしているのかを追跡しようとすることによって、体液を研究する傾向はありません。 代わりに、粘度、密度、圧力など、全体のより大きな特性を調べます。

液体の場合と同様に、気体内の粒子も互いに自由に移動できます。 実際、ガスは温度と圧力の違いにより、体積が劇的に変化する可能性があります。

繰り返しになりますが、熱平衡状態であっても、個々のガス分子が何をしているかを追跡してガスを研究することは意味がありません。 特に、空のコップのスペースにも10個程度あることを考えると、実現可能ではありません。²² 空気分子。 相互作用する多くの分子のシミュレーションを実行するのに十分な強力なコンピューターすらありません。 代わりに、科学者は圧力、体積、温度などの巨視的な特性を使用してガスを研究し、正確な予測を行います。

分析が最も簡単なガスの種類は理想気体です。 物理学をはるかに理解しやすくする特定の簡略化が可能になるため、理想的です。 標準の温度と圧力の多くのガスは、ほぼ理想気体として機能するため、それらの研究も役立ちます。

理想気体では、気体分子自体が完全な弾性衝突で衝突すると想定されているため、このような衝突の結果としてエネルギーが変化することを心配する必要はありません。 また、分子は互いに非常に離れていると想定されます。これは、本質的に 彼らがスペースを求めて互いに戦うことを心配する必要はなく、ポイントとして扱うことができます 粒子。 理想気体も熱すぎず、冷たすぎないため、イオン化や量子効果などの効果について心配する必要はありません。

ここから、ガス粒子は、コンテナ内で跳ね返る小さな点粒子のように扱うことができます。 しかし、この単純化を行っても、個々の粒子が何をしているのかを追跡してガスを理解することはまだ不可能です。 しかし、それは科学者が巨視的な量の間の関係を説明する数学的モデルを開発することを可能にします。

理想気体の法則は、理想気体の圧力、体積、温度に関係しています。 圧力Pガスの量は、ガスが入っている容器の壁にかかる単位面積あたりの力です。 圧力のSI単位はパスカル（Pa）で、1Pa = 1N / mです。². ボリュームVガスの量は、m単位のSI単位で占めるスペースの量です。³. そして温度Tガスの量は、ケルビンのSI単位で測定された、分子あたりの平均運動エネルギーの尺度です。

理想気体の法則を表す方程式は、次のように書くことができます。

どこNは分子数または粒子数とボルツマン定数ですk​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/ s²K。

この法則の同等の定式化は次のとおりです。

どこnはモル数であり、普遍的な気体定数です。R= 8.3145 J / molK。

これらの2つの式は同等です。 どちらを使用するかは、分子数をモル数で測定するのか、分子数で測定するのかによって異なります。

• 1モル= 6.022×10²³ アボガドロの数である分子。

ガスが理想として近似されたら、さらに単純化することができます。 つまり、各分子の正確な物理学を考慮する代わりに（その数が非常に多いために不可能です）、それらの動きはランダムであるかのように扱われます。 このため、統計を適用して何が起こっているのかを理解できます。

19世紀に、物理学者のジェームズクラークマクスウェルとルートヴィッヒボルツマンは、説明された簡略化に基づいてガスの運動論を開発しました。

古典的に、ガス中の各分子は、次の形式の運動エネルギーを持つことができます。

ただし、ガス中のすべての分子が常に衝突しているため、同じ運動エネルギーを持っているわけではありません。 分子の運動エネルギーの正確な分布は、マクスウェル-ボルツマン分布によって与えられます。

マクスウェル-ボルツマン統計は、さまざまなエネルギー状態にわたる理想気体分子の分布を示しています。 この分布を説明する関数は次のとおりです。

どこAは正規化定数であり、Eエネルギーです、kボルツマン定数であり、Tは温度です。

この関数を得るために行われたさらなる仮定は、それらの点粒子の性質のために、与えられた状態を占めることができる粒子の数に制限がないということです。 また、エネルギー状態間の粒子の分布は、必然的に最も可能性の高い分布を取ります（ 粒子の数が多いほど、ガスがこの分布に近づかない確率はますます高くなります 小さい）。 そして最後に、すべてのエネルギー状態が同じように発生する可能性があります。

これらの統計が機能するのは、特定の粒子が平均を大幅に超えるエネルギーで終わる可能性が非常に低いためです。 もしそうなら、それは残りの総エネルギーが分配されるためのはるかに少ない方法を残すでしょう。 つまり、数字ゲームに要約されます。平均をはるかに超える粒子を持たないエネルギー状態がはるかに多いため、システムがそのような状態になる確率はほとんどありません。

ただし、確率がどのように実行されるかにより、平均よりも低いエネルギーの可能性が高くなります。 すべての動きはランダムであると見なされ、粒子が低エネルギー状態になる可能性のある方法が多数あるため、これらの状態が優先されます。

マクスウェル-ボルツマン分布は、理想気体粒子の速度の分布です。 この速度分布関数は、マクスウェル-ボルツマン統計から導き出すことができ、圧力、体積、および温度の間の関係を導き出すために使用できます。

速度の分布v次の式で与えられます。

どこmは分子の質量です。

関連する分布曲線と、上の速度分布関数y-軸と分子速度バツ-軸は、右側に長いテールがある非対称の正規曲線のように見えます。 最も可能性の高い速度でピーク値がありますv_p、および次の式で与えられる平均速度：

また、尾が長く細いことにも注意してください。 曲線は温度によってわずかに変化し、温度が高くなるとロングテールが「太く」なります。

関係を使用します。

どこE_int内部エネルギーです、KE​_​平均​ マクスウェル-ボルツマン分布からの分子あたりの平均運動エネルギーです。 理想気体の法則とともに、分子運動の観点から圧力と体積の関係を得ることができます。