ברצף גיאומטרי, כל מונח שווה למונח הקודם כפול מכפיל קבוע שאינו אפס הנקרא הגורם המשותף. לרצפים גיאומטריים יכול להיות מספר קבוע של מונחים, או שהם יכולים להיות אינסופיים. בשני המקרים, המונחים של רצף גיאומטרי יכולים להפוך במהירות רבה מאוד, שליליים מאוד או קרובים מאוד לאפס. בהשוואה לרצפי חשבון, המונחים משתנים הרבה יותר מהר, אך תוך כדי חשבון אינסופי רצפים גדלים או יורדים בהתמדה, רצפים גיאומטריים יכולים להתקרב לאפס, תלוי במשותף גורם.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
רצף גיאומטרי הוא רשימה מסודרת של מספרים שבהם כל מונח הוא תוצר של המונח הקודם ומכפיל קבוע שאינו אפס הנקרא הגורם המשותף. כל מונח של רצף גיאומטרי הוא הממוצע הגיאומטרי של המונחים שקדמו ואחריו. רצפים גיאומטריים אינסופיים עם גורם משותף בין +1 ל- -1 מתקרבים לגבול האפס כמונחים מתווספים בזמן שרצפים עם גורם משותף גדול מ +1 או קטן מ -1 עוברים ל פלוס או מינוס אינסוף.
כיצד פועלים רצפים גיאומטריים
רצף גיאומטרי מוגדר על ידי מספר ההתחלה שלוא, הגורם המשותףרומספר המונחיםס. הצורה הכללית המקבילה של רצף גיאומטרי היא:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,... , ar ^ {S-1}
הנוסחה הכללית למונחנשל רצף גיאומטרי (כלומר, כל מונח ברצף זה) הוא:
a_n = ar ^ {n-1}
הנוסחה הרקורסיבית, המגדירה מונח ביחס למונח הקודם, היא:
a_n = ra_ {n-1}
דוגמה לרצף גיאומטרי עם מספר התחלתי 3, גורם משותף 2 ושמונה מונחים היא 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. חישוב המונח האחרון באמצעות הטופס הכללי המופיע למעלה, המונח הוא:
a_8 = 3 × 2 ^ {8-1} = 3 × 2 ^ 7 = 3 × 128 = 384
שימוש בנוסחה הכללית למונח 4:
a_4 = 3 × 2 ^ {4-1} = 3 × 2 ^ 3 = 3 × 8 = 24
אם ברצונך להשתמש בנוסחה הרקורסיבית למונח 5, אז מונח 4 = 24, ו- a5 שווים:
a_5 = 2 × 24 = 48
מאפייני רצף גיאומטרי
לרצפים גיאומטריים יש מאפיינים מיוחדים מבחינת הממוצע הגיאומטרי. הממוצע הגיאומטרי של שני מספרים הוא השורש הריבועי של המוצר שלהם. לדוגמא, הממוצע הגיאומטרי של 5 ו -20 הוא 10 מכיוון שהתוצר 5 × 20 = 100 והשורש הריבועי של 100 הוא 10.
ברצפים גיאומטריים, כל מונח הוא הממוצע הגיאומטרי של המונח שלפניו והמונח שאחריו. לדוגמא, ברצף 3, 6, 12... לעיל, 6 הוא הממוצע הגיאומטרי של 3 ו -12, 12 הוא הממוצע הגיאומטרי של 6 ו -24, ו- 24 הוא הממוצע הגיאומטרי של 12 ו -48.
מאפיינים אחרים של רצפים גיאומטריים תלויים בגורם המשותף. אם הגורם המשותףרגדול מ -1, רצפים גיאומטריים אינסופיים יתקרבו לאינסוף חיובי. אםרהוא בין 0 ל -1, הרצפים יתקרבו לאפס. אםרהוא בין אפס ל- -1, הרצפים יתקרבו לאפס, אך המונחים יחליפו בין ערכים חיוביים ושליליים. אםרהוא פחות מ -1, המונחים יתפתחו לאינסוף חיובי ושלילי כאחד כשהם מתחלפים בין ערכים חיוביים ושליליים.
רצפים גיאומטריים ותכונותיהם שימושיים במיוחד במודלים מדעיים ומתמטיים של תהליכים בעולם האמיתי. השימוש ברצפים ספציפיים יכול לסייע בחקר אוכלוסיות שגדלות בקצב קבוע לאורך פרקי זמן מסוימים או בהשקעות שמרוויחות ריבית. הנוסחאות הכלליות והרקורסיביות מאפשרות לחזות ערכים מדויקים בעתיד על בסיס נקודת המוצא והגורם המשותף.