השורש הריבועי של מספר הוא ערך שכאשר מוכפל בעצמו הוא נותן את המספר המקורי. לדוגמא, השורש הריבועי 0 הוא 0, השורש הריבועי 100 הוא 10 והשורש הריבועי 50 הוא 7.071. לפעמים אתה יכול להבין, או פשוט להיזכר, בשורש הריבועי של מספר שהוא בעצמו "ריבוע מושלם", שהוא תוצר של מספר שלם המוכפל בעצמו; ככל שתתקדם בלימודים שלך, סביר להניח שתפתח רשימה נפשית של המספרים האלה (1, 4, 9, 25, 36.. .).
בעיות הכרוכות בשורשים מרובעים הן חיוניות בהנדסה, בחשבון ובעצם בכל תחומי העולם המודרני. למרות שאתה יכול לאתר בקלות מחשבוני משוואת שורש ריבועי באופן מקוון (ראה משאבים לדוגמא), פתרון משוואות שורש ריבועי הוא חשוב מיומנות באלגברה מכיוון שהיא מאפשרת לך להכיר את השימוש ברדיקלים ולעבוד עם מספר סוגי בעיות מחוץ לתחום השורשים הריבועיים כְּשֶׁלְעַצמוֹ.
ריבועים ושורשים מרובעים: נכסים בסיסיים
העובדה כי הכפלת שני מספרים שליליים יחד מניבה מספר חיובי חשובה בעולם השורשים הריבועיים מכיוון שזה מרמז שלמספרים חיוביים יש למעשה שני שורשים מרובעים (למשל, השורשים הריבועיים של 16 הם 4 ו- -4, גם אם רק הראשון הוא אינטואיטיבי). באופן דומה, למספרים שליליים אין שורשים ריבועיים אמיתיים, מכיוון שאין מספר ממשי שלוקח ערך שלילי כשהוא מוכפל בעצמו. במצגת זו יתעלם מהשורש הריבועי השלילי של מספר חיובי, כך שניתן יהיה לראות את "שורש הריבוע של 361" כ- "19" ולא כ- "19 ו- 19."
כמו כן, כשמנסים לאמוד את הערך של שורש ריבועי כאשר שום מחשבון אינו שימושי, חשוב להבין כי פונקציות הכוללות ריבועים ושורשים ריבועים אינן לינאריות. תראה עוד על כך בחלק על גרפים בהמשך, אך כדוגמה גסה, כבר הבחנת כי השורש הריבועי של 100 הוא 10 והשורש הריבועי של 0 הוא 0. באופק זה עשוי להוביל אותך לנחש שהשורש הריבועי של 50 (שנמצא באמצע הדרך בין 0 ל 100) חייב להיות 5 (שזה באמצע הדרך בין 0 ל -10). אבל כבר למדתם שהשורש הריבועי של 50 הוא 7.071.
לבסוף, אולי הפנמתם את הרעיון שהכפלת שני מספרים יחד מניבה מספר גדול מעצמו, רומז כי שורשים מרובעים של מספרים הם תמיד קטנים יותר מהמקור מספר. זה לא המקרה! גם למספרים שבין 0 ל -1 יש שורשים ריבועיים, ובכל מקרה השורש הריבועי גדול מהמספר המקורי. זה מוצג בצורה הקלה ביותר באמצעות שברים. לדוגמא, ל- 16/25, או 0.64, יש ריבוע מושלם הן במונה והן במכנה. משמעות הדבר היא כי השורש הריבועי של השבר הוא השורש הריבועי של מרכיביו העליונים והתחתונים, שהוא 4/5. זה שווה ל- 0.80, מספר גדול מ- 0.64.
מינוח שורש מרובע
"השורש הריבועי שלאיקס"נכתב בדרך כלל באמצעות מה שמכונה סימן רדיקלי, או סתם רדיקל (√). כך לכל אחדאיקס:
\ sqrt {x}
מייצג את השורש הריבועי שלו. מרפרף על זה, ריבוע המספראיקסנכתב באמצעות אקספוננט של 2 (איקס2). מעריצים לוקחים כתבי-על על עיבוד תמלילים ויישומים קשורים, והם מכונים גם סמכויות. מכיוון שלא תמיד קל לייצר סימנים רדיקליים לפי דרישה, דרך נוספת לכתוב "את השורש הריבועי שלאיקס"הוא להשתמש במעריך:
x ^ {1/2}
זה בתורו חלק מתכנית כללית:
x ^ {(y / z)}
פירושו "להעלותאיקסלכוחו שלyואז קח את 'z'שורש זה.'איקס1/2 משמעות הדבר לפיכך "העלהאיקסלכוח הראשון, שהוא פשוטאיקסשוב, ואז קח את השורש 2 שלו, או את השורש הריבועי. "הרחב את זה,איקס(5/3) פירושו "להעלותאיקסבכוח של 5, ואז מצא את השורש השלישי (או שורש הקוביה) של התוצאה. "
ניתן להשתמש ברדיקלים כדי לייצג שורשים שאינם 2, השורש הריבועי. זה נעשה פשוט על ידי הוספת כתב עליון בפינה השמאלית העליונה של הרדיקל.
\ sqrt [3] {x ^ 5}
ואז, מייצג את אותו המספר כמואיקס(5/3) מהפסקה הקודמת עושה.
רוב השורשים הריבועיים הם מספרים לא רציונליים. המשמעות היא שלא רק שהם לא מספרים שלמים נחמדים ומסודרים (למשל, 1, 2, 3, 4.. .), אך הם גם לא יכולים לבוא לידי ביטוי כמספר עשרוני מסודר שמסתיים מבלי שיהיה צורך לעגל אותו. ניתן לבטא מספר רציונלי כשבר. אז למרות ש -2.75 אינו מספר שלם, זהו מספר רציונלי מכיוון שזה אותו הדבר כמו השבר 11/4. נאמר לך קודם שהשורש הריבועי של 50 הוא 7.071, אך זה למעשה מעוגל ממספר אינסופי של מקומות עשרוניים. הערך המדויק של √50 הוא 5√2, ותראה כיצד זה נקבע בקרוב.
גרפים של פונקציות שורש מרובעות
כבר ראית שמשוואות בהשתתפות ריבועים ושורשים מרובעים אינן לינאריות. דרך קלה לזכור זאת היא שהגרפים של הפתרונות של משוואות אלה אינם קווים. זה הגיוני, כי אם, כאמור, הריבוע 0 הוא 0 והריבוע 10 הוא 100 אבל הריבוע של 5 אינו 50, הגרף הנובע מפירוש מספר פשוט חייב לעקם את דרכו אל הנכון ערכים.
זה המקרה עם הגרף של
y = x ^ 2
כפי שאתה יכול לראות בעצמך על ידי ביקור במחשבון במשאבים ושינוי הפרמטרים. הקו עובר דרך הנקודה (0,0), ו- y לא יורד מ- 0, שאותו אתה צריך לצפות מכיוון שאתה יודע זאתאיקס2 לעולם אינו שלילי. אתה יכול גם לראות שהגרף סימטרי סביב ה-yציר, שגם הגיוני מכיוון שכל שורש ריבועי חיובי של מספר נתון מלווה בשורש ריבועי שלילי בסדר גודל זהה. לכן, למעט 0, כלyערך בגרף שלy = איקס2 קשור לשנייםאיקס-ערכים.
בעיות שורש מרובעות
אחת הדרכים להתמודד עם בעיות בסיסיות של שורשים רבועים ביד היא לחפש ריבועים מושלמים "מוסתרים" בתוך הבעיה. ראשית, חשוב להיות מודעים לכמה תכונות חיוניות של ריבועים ושורשים מרובעים. אחד מאלה הוא זה, בדיוק כמו √איקס2 פשוט שווה ל-איקס(כי הרדיקל והמעריך מבטלים זה את זה):
\ sqrt {x ^ 2y} = x \ sqrt {y}
כלומר, אם יש לך ריבוע מושלם תחת רדיקל המכפיל מספר אחר, אתה יכול "לשלוף אותו" ולהשתמש בו כמקדם של מה שנשאר. לדוגמא, חזרה לשורש הריבועי 50
\ sqrt {50} = \ sqrt {(25) (2)} = 5 \ sqrt {2}
לפעמים אתה יכול לסיים עם מספר הכולל שורשים ריבועיים המתבטא כשבר, אך עדיין הוא מספר לא רציונלי מכיוון שהמכנה, המונה או שניהם מכילים רדיקל. במקרים כאלה, ייתכן שתתבקש לנמק את המכנה. לדוגמא, המספר
\ frac {6 \ sqrt {5}} {\ sqrt {45}}
יש רדיקל גם במניין וגם במכנה. אך לאחר בדיקת "45", ייתכן שתזהה זאת כתוצר של 9 ו -5, כלומר
\ sqrt {45} = \ sqrt {(9) (5)} = 3 \ sqrt {5}
לכן ניתן לכתוב את השבר
\ frac {6 \ sqrt {5}} {3 \ sqrt {5}}
הרדיקלים מבטלים זה את זה, ונותרת עם 6/3 = 2.