הקונספט שלערכים עצמייםהוא סתום אבל מאוד שימושי עבור מתמטיקאים ומדעני פיזיקה שמתמודדים עם בעיות מעניינות מסוימות.
כדי להבין ערך עצמי, דמיין שיש פונקציה (למשל,y = איקס2 + 6איקס, אוy= יומן 4איקס) שתוכלו לעבור תהליך כלשהו כזה שהתוצאה תהיה זהה להכפלת כל הפונקציה בערך קבוע. פונקציה כזו תזכה בתורתפקוד עצמי, והקבוע יהיה ערך עצמי.
- "Eigen" הוא גרמני עבור "אותו דבר".
כדי להבין בצורה הטובה ביותר את הערכים והפונקציות העצמיות, ולהצליח לחשב את הערכים העצמיים בעצמך, אתה צריך הבנה בסיסית של מטריצות. הטריקים המתמטיים הללו משמשים לקביעת אומרים, סדר הקשר של NO2 (דו חמצני חנקן) ומולקולות אחרות, מכיוון שהתנהגות האלקטרונים באטומים נקבעת על ידי תפקודי גל המתאימים לתפקודים עצמיים.
מהי מטריקס?
מטריצה היא מערך מספרים שהוזמנו בשורות ועמודות, שעשוי להיות בין 1 לנ. מידות המטריצות ניתנות כשורה אחר עמוד; לדוגמה, להלן מטריצה של 2 על 3:
\ התחל {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
ניתן להוסיף מטריצות יחד אם הן באותו גודל (כלומר, יש את אותו מספר שורות ומספר זהה של עמודות). ניתן להכפיל אותם יחד בתהליך שלבי בתנאים זהים. בנוסף, ניתן להכפיל כל מטריצה על ידי וקטור, שהוא 1 על ידי-
נאוֹנמטריצה לפי 1; זה כולל וקטורים אחרים.מהי משוואת Eigenvalue?
תגיד שיש לךנ-על ידי-נאו מטריצה "מרובעת"א, אפסנוקטור על ידי 1v, וסקלרλ, כך שהמשוואה הבאה מתקיימת:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
כל ערך שלλשעבורו למשוואה זו יש פיתרון מכונה ערך עצמי של המטריצהא.
אל תתנו למוחכם להתייחס לביטויים הנ"ל כמוצר.אהואמַפעִילעל, או טרנספורמציה לינארית של הווקטורv, חישוב זה אפשרי רק בגללאוvלשניהם ישנשורות.
מדוע להשתמש בפונקציות Eigenvalue?
הגזירה מסובכת, אך בכימיה אטומית, המפעיל המילטוני "H-bar" משמש לביטוי האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של מערכת:
\ hat H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ hat V (x, y, z)
זה משמש לכתיבת צורה של ה-משוואת תפקוד הגלים של שרודינגרבמכניקת הקוונטים:
\ hat Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
פההמייצג את הערכים העצמיים העונים על משוואה זו.
דרכים למצוא ערכים ראשוניים של מטריקס
מהמשוואה Av = λv, אתה מקבלא v − λv=0. זה מוביל ל:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
איפהאניהיא מטריצת הזהות 2 על 2 עם שורות של [λ0] ו- [0λ], מה שמוביל ל -1 כשהוא מוכפל בסקלרλ. תוצאה זו מניבה:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
איזה אםvאינו אפס, יש לו פתרון רק אם הערך המוחלט שלא− λאני, או |א − λאני|, הוא אפס. אם אתה עושה את זה ביד, זה כרוך בפתרון משוואה ריבועית ויכול להיות מייגע.
כדי להכפיל שתי מטריצות יחד, עבור כל נקודה במטריצת המוצר, מכפילים את הנקודות המתאימות יחד והוסף זאת למוצרים של שאר ואלמנטים בעמודה בשורה ובעמודה אליהם הנקודה החדשה שייך.
בהכפלת שתי מטריצות של 2 על 2אוביחד, אם השורה הראשונה שלאהוא [1 3] והעמודה הראשונה שלבהוא [2 5], המספר בעמודה ובשורה הראשונה של המטריצה החדשה יהיה [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15, ובהתאם לשלוש הנקודות האחרות.
חשב חישובים מקוונים
במשאבים, תמצא כלי לחישוב מטריצה המאפשר לך למצוא ערכים עצמיים ועוד עבור מטריצה כמעט בכל גודל שניתן להעלות על הדעת.