הדרך הטובה ביותר לגרום לפולינומים עם שברים מתחילה בצמצום השברים למונחים פשוטים יותר. פולינומים מייצגים ביטויים אלגבריים עם שני מונחים או יותר, ליתר דיוק, סכום של מונחים מרובים שיש להם ביטויים שונים של אותו משתנה. אסטרטגיות המסייעות לפשט פולינומים כוללות פקטור הגורם המשותף הגדול ביותר, ואחריו קיבוץ המשוואה למונחים הנמוכים ביותר שלה. הדבר נכון גם כאשר פותרים פולינומים עם שברים.
פולינומים עם שברים מוגדרים
יש לך שלוש דרכים להציג את הביטוי פולינומים עם שברים. הפרשנות הראשונה מתייחסת לפולינומים עם שברים למקדמים. באלגברה, המקדם מוגדר ככמות המספר או הקבוע שנמצא לפני משתנה. במילים אחרות, המקדמים של 7_a_, ב ו (1/3)ג הם 7, 1 ו- (1/3) בהתאמה. שתי דוגמאות, לפיכך, לפולינומים עם מקדמי שבר יהיו:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 \ text {ו-} x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8}
הפרשנות השנייה של "פולינומים עם שברים" מתייחסת לפולינומים הקיימים בשבר או ביחס טופס עם מניין ומכנה, כאשר פולינום המונה מחולק על ידי המכנה פולינום. לדוגמא, פרשנות שנייה זו מומחשת על ידי:
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
הפרשנות השלישית מתייחסת, בינתיים, לפירוק חלקי חלקי, המכונה גם הרחבת חלקים חלקית. לפעמים שברים פולינומיים מורכבים כך שכאשר הם "מפורקים" או "מתפרקים" לתוכם במונחים פשוטים יותר, הם מוצגים כסכומים, הבדלים, מוצרים או מרכיבים של פולינום שברים. לשם המחשה, השבר הפולינומי המורכב של:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
מוערך באמצעות פירוק חלקי חלקי, אשר, אגב, כולל פקטורינג של פולינומים, להיות, בצורתו הפשוטה ביותר:
\ bigg (\ frac {3} {x + 2} \ bigg) + \ bigg (\ frac {5} {x-1} \ bigg)
יסודות הפקטורינג - רכוש חלוקתי ושיטת FOIL
גורמים מייצגים שני מספרים שכאשר מוכפלים יחד שווים למספר שלישי. במשוואות אלגבריות, פקטורינג קובע אילו שתי כמויות הוכפלו יחד כדי להגיע לפולינום נתון. נכסים חלוקיים עוקבים אחר המאפיין בעת הכפלת פולינומים. המאפיין החלוקתי מאפשר למעשה להכפיל סכום על ידי הכפלת כל מספר בנפרד לפני הוספת המוצרים. שימו לב, למשל, כיצד מוחל המאפיין החלוקתי בדוגמה של:
7 (10x + 5) \ text {כדי להגיע לבינומי של 70x + 35.
אבל, אם מכפילים שתי בינוניות יחד, נעשה שימוש בגרסה מורחבת של המאפיין החלוקתי בשיטת FOIL. FOIL מייצג את ראשי התיבות של מונחים ראשונים, חיצוניים, פנימיים ואחרונים המוכפלים. לפיכך, פקטורינג פולינומי כרוך בביצוע שיטת FOIL לאחור. קח את שתי הדוגמאות הנ"ל עם הפולינומים המכילים מקדמי שבר. ביצוע שיטת FOIL לאחור על כל אחד מהם גורם לגורמים של
\ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
עבור הפולינום הראשון, והגורמים של
\ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} {2} \ bigg)
לפולינום השני.
דוגמא:
\ frac {1} {4} x ^ 2 + 6x + 20 = \ bigg (\ frac {1} {2} x + 2 \ bigg) \ bigg (\ frac {1} {2} x + 10 \ bigg)
דוגמא:
x ^ 2 + \ frac {3} {4} x + \ frac {1} {8} = \ bigg (x + \ frac {1} {4} \ bigg) \ bigg (x + \ frac {1} { 2} \ bigg)
צעדים שיש לנקוט בעת ביצוע שברים פולינומיים
מלמעלה, שברים פולינומיים מערבים פולינום במונה חלקי פולינום במכנה. הערכת שברים פולינומיים מחייבת לפיכך לפקטור את הפולינום של המונה תחילה ואחריו לפקטור את פולינום המכנה. זה עוזר למצוא את הגורם המשותף הגדול ביותר, או GCF, בין המונה למכנה. ברגע שנמצא ה- GCF של המונה והמכנה, הוא מבטל, ובסופו של דבר מצמצם את המשוואה כולה למונחים פשוטים. שקול את דוגמת השבר הפולינומי המקורי שלמעלה
\ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18}
פקטור פולינומי המונה והמכנה כדי למצוא את תוצאות ה- GCF ב:
\ frac {(x + 2) (x + 5)} {(x + 2) (x + 9)}
עם GCF להיות (איקס + 2).
ה- GCF במנזר ובמכנה מבטל זה את זה כדי לספק את התשובה הסופית במונחים הנמוכים ביותר של (איקס + 5) ÷ (איקס + 9).
דוגמא:
\ התחל {מיושר} \ frac {x ^ 2 + 7x + 10} {x ^ 2 + 11x + 18} & = \ frac {\ ביטל {(x + 2)} (x + 5)} {\ בטל {( x + 2)} (x + 9)} \\ & = \ frac {x + 5} {x + 9} \ end {align}
הערכת משוואות באמצעות פירוק שבר חלקי
פירוק שבר חלקי, הכרוך בפקטורינג, הוא דרך לשכתב משוואות שבר פולינום מורכבות לצורה פשוטה יותר. חזרה על הדוגמה מלמעלה של
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2}
לפשט את המכנה
פשט את המכנה כדי להשיג:
\ frac {8x + 7} {x ^ 2 + x - 2} = \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)}
סדר מחדש את המספר
לאחר מכן, סדר מחדש את המונה כך שיתחיל להיות GCFs במכנה, כדי לקבל:
\ התחל {מיושר} \ frac {8x + 7} {(x + 2) (x - 1)} & = \ frac {3x + 5x - 3 + 10} {(x + 2) (x - 1)} \ \ & = \ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} \\ \ end {מיושר}
עבור התוספת השמאלית, ה- GCF הוא (איקס - 1), ואילו עבור התוספת הנכונה, ה- GCF הוא (איקס + 2) המבטלים במונה ובמכנה, כפי שנראה ב:
\ frac {3x - 3} {(x + 2) (x - 1)} + \ frac {5x + 10} {(x + 2) (x - 1)} = \ frac {3 \ ביטול {(x - 1)}} {(x + 2) \ ביטול {(x - 1)}} + \ frac {5 \ ביטול {(x + 2)}} {\ ביטול {(x + 2)} (x - 1) }
לפיכך, כאשר GCFs מתבטלים, התשובה הפשוטה הסופית היא:
\ frac {3} {x + 2} + \ frac {5} {x - 1}
כפתרון של פירוק השבר החלקי.