שורשי הפולינום נקראים גם אפסיו, מכיוון שהשורשים הם האיקסערכים בהם הפונקציה שווה לאפס. כשמדובר בפועל למצוא את השורשים, עומדות לרשותך מספר טכניקות; פקטורינג היא השיטה בה אתה משתמש בתדירות הגבוהה ביותר, אם כי גרפים יכולים להיות שימושיים גם כן.
כמה שורשים?
בחן את המונח הגבוה ביותר של הפולינום - כלומר המונח עם המעריך הגבוה ביותר. המעריך הזה הוא כמה שורשים שיהיו לפולינום. אז אם המעריך הגבוה ביותר בפולינום שלך הוא 2, יהיו לו שני שורשים; אם המעריך הגבוה ביותר הוא 3, יהיו לו שלושה שורשים; וכולי.
אזהרות
-
יש תפיסה: שורשים של פולינום יכולים להיות אמיתיים או דמיוניים. שורשים "אמיתיים" הם חברים במערך המכונה מספרים אמיתיים, אשר בשלב זה בקריירה המתמטית שלך הוא כל מספר שאתה רגיל להתמודד איתו. שליטה במספרים דמיוניים היא נושא אחר לגמרי, אז בינתיים, רק זכרו שלושה דברים:
- שורשים "דמיוניים" צצים כאשר יש לך שורש ריבועי של מספר שלילי. לדוגמא, √ (-9).
- שורשים דמיוניים מגיעים תמיד בזוגות.
- שורשי הפולינום יכולים להיות אמיתיים או דמיוניים. אז אם יש לך פולינום מהדרגה החמישית יכול להיות שיש לו חמישה שורשים אמיתיים, יכול להיות שיהיו לו שלושה שורשים אמיתיים ושני שורשים דמיוניים, וכן הלאה.
מצא שורשים לפי פקטורינג: דוגמה 1
הדרך הרב-תכליתית ביותר למצוא שורשים היא פקטור פולינומי שלך ככל האפשר, ואז הגדרת כל מונח שווה לאפס. זה הגיוני הרבה יותר לאחר שעוקבים אחר כמה דוגמאות. שקול את הפולינום הפשוטאיקס2 – 4איקס:
בדיקה קצרה מראה שאתה יכול לגרוםאיקסמתוך שני מונחי הפולינום, שנותן לך:
x (x - 4)
הגדר כל מונח לאפס. פירוש הדבר לפתור שתי משוואות:
x = 0
הוא המונח הראשון שנקבע לאפס, ו
x - 4 = 0
הוא המונח השני שנקבע לאפס.
כבר יש לך את הפיתרון לקדנציה הראשונה. אםאיקס= 0, אז הביטוי כולו שווה לאפס. כךאיקס= 0 הוא אחד השורשים, או האפסים, של הפולינום.
עכשיו שקול את המונח השני ופתור לאיקס. אם תוסיף 4 לשני הצדדים יהיה לך:
x - 4 + 4 = 0 + 4
מה שמפשט ל:
x = 4
אז אםאיקס= 4 אז הגורם השני שווה לאפס, כלומר גם הפולינום כולו שווה לאפס.
מכיוון שהפולינום המקורי היה מהדרגה השנייה (המעריך הגבוה ביותר היה שניים), אתה יודע שיש רק שני שורשים אפשריים לפולינום זה. כבר מצאת את שניהם, אז כל שעליך לעשות הוא לרשום אותם:
x = 0, x = 4
מצא שורשים לפי פקטורינג: דוגמה 2
הנה דוגמה נוספת לאיך למצוא שורשים באמצעות פקטורינג, תוך שימוש באלגברה מהודרת בדרך. שקול את הפולינוםאיקס4 – 16. מבט מהיר על מעריציו מראה לך שצריכים להיות ארבעה שורשים לפולינום זה; עכשיו הגיע הזמן למצוא אותם.
שמתם לב שניתן לשכתב פולינום זה כהפרש הריבועים? אז במקוםאיקס4 - 16, יש לך:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
אשר, באמצעות הנוסחה להפרש הריבועים, גורם לגורמים הבאים:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
הקדנציה הראשונה היא, שוב, הבדל של ריבועים. אז למרות שאתה לא יכול לפקח על המונח בצד ימין עוד יותר, אתה יכול לפקח על המונח משמאל עוד צעד אחד:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
עכשיו הגיע הזמן למצוא את האפסים. מהר מאוד מתברר שאםאיקס= 2, הגורם הראשון יהיה שווה לאפס, וכך הביטוי כולו יהיה שווה לאפס.
באופן דומה, אםאיקס= −2, הגורם השני יהיה שווה לאפס וכך גם הביטוי כולו.
כךאיקס= 2 ואיקס= -2 הם שניהם אפסים, או שורשים, של הפולינום הזה.
אבל מה עם הקדנציה האחרונה? מכיוון שיש לו מערך "2", עליו להיות שני שורשים. אבל אתה לא יכול לפקח על הביטוי הזה באמצעות המספרים האמיתיים שאתה רגיל אליהם. יהיה עליכם להשתמש במושג מתמטי מתקדם מאוד הנקרא מספרים דמיוניים או אם תרצו במספרים מורכבים. זה הרבה מעבר לתחום העיסוק הנוכחי שלך במתמטיקה, אז בינתיים מספיק לציין שיש לך שני שורשים אמיתיים (2 ו- -2), ושני שורשים דמיוניים שתשאיר לא מוגדרים.
מצא שורשים לפי גרפים
אתה יכול גם למצוא, או לפחות לאמוד, שורשים על ידי גרף. כל שורש מייצג נקודה שבה הגרף של הפונקציה חוצה אתאיקסצִיר. אז אם אתה משרטט את השורה ואז מציין אתאיקסקואורדינטות היכן שהקו עובר אתאיקסציר, אתה יכול להוסיף את המשועראיקסאת הערכים של הנקודות האלה למשוואה שלך ובדוק אם קיבלת אותם נכונים.
שקול את הדוגמה הראשונה שעבדת, עבור הפולינוםאיקס2 – 4איקס. אם תמשוך את זה בזהירות, תראה שהקו חוצה אתאיקסציר באיקס= 0 ואיקס= 4. אם תזין כל אחד מהערכים הללו למשוואה המקורית, תקבל:
0^2 - 4(0) = 0
כךאיקס= 0 היה אפס או שורש תקף לפולינום זה.
4^2 - 4(4) = 0
כךאיקס= 4 הוא גם אפס או שורש תקף לפולינום זה. ומכיוון שהפולינומי היה בדרגה 2, אתה יודע שאתה יכול להפסיק לחפש שני שורשים.