משוואות נכונות אם שני הצדדים זהים. מאפייני משוואות ממחישים מושגים שונים השומרים על שני הצדדים של המשוואה זהים, בין אם אתה מוסיף, מחסר, מכפיל או מחלק. באלגברה, אותיות מייצגות מספרים שאינכם מכירים, ומאפיינים נכתבים באותיות כדי להוכיח כי כל המספרים שתחברו אליהם, הם תמיד יצליחו להיות אמיתיים. אתה עשוי לחשוב על מאפיינים אלה כ"כללי אלגברה "שבהם אתה יכול להשתמש כדי לפתור בעיות מתמטיות.
נכסים אסוציאטיביים וקומוטטיביים
מאפיינים אסוציאטיביים וקומוטטיביים לשניהם נוסחאות לחיבור וכפל. הנכס קומוטטיבי של תוספתאומר שאם אתה מוסיף שני מספרים, זה לא משנה באיזה סדר אתה מכניס אותם. לדוגמא, 4 + 5 זהה ל- 5 + 4. הנוסחה היא:
a + b = b + a
כל המספרים שתתחבר אליהםאובעדיין יהפוך את הנכס לאמיתי.
התכונה קומוטטיבית של כפלהנוסחה קוראת
a × b = b × a
פירוש הדבר שכאשר מכפילים שני מספרים, לא משנה איזה מספר תקלידו תחילה. עדיין תקבל 10 אם תכפיל 2 × 5 או 5 × 2.
הרכוש אסוציאטיבי של תוספתאומר שאם אתה מקבץ שני מספרים ומוסיף אותם ואז מוסיף מספר שלישי, זה לא משנה באיזו קיבוץ אתה משתמש. בצורה נוסחא זה נראה כמו
(a + b) + c = a + (b + c)
לדוגמה
\ text {if} (2 + 3) + 4 = 9 \ text {then} 2 + (3 + 4) = 9
באופן דומה, אם מכפילים שני מספרים ואז מכפילים את המוצר במספר שלישי, לא משנה אילו שני מספרים מכפילים קודם. בצורה נוסחא, ה-תכונה אסוציאטיבית של כפלנראה כמו
(a × b) c = a (b × c)
לדוגמא, (2 × 3) 4 מפשט ל 6 × 4, ששווה 24. אם תקבץ 2 (3 × 4) יהיה לך 2 × 12, וזה גם ייתן לך 24.
מאפייני מתמטיקה: טרנזיטיביים ומפיצים
הרכוש מעבראומר שאםא = בוב = ג, לאחר מכןא = ג. מאפיין זה משמש לעיתים קרובות בתחליף אלגברי. לדוגמה,
\ text {if} 4x - 2 = y \ text {and} y = 3x + 4 \ text {, ואז} 4x - 2 = 3x + 4
אם אתה יודע ששני הערכים האלה שווים זה לזה, אתה יכול לפתור אותםאיקס. ברגע שאתה יודעאיקס, אתה יכול לפתור עבורyאם נחוץ.
הרכוש חלוקתימאפשר לך להיפטר מהסוגריים אם יש מונח מחוץ להם, כמו 2 (איקס− 4). סוגריים במתמטיקה מעידים על כפל, וכדי להפיץ משהו פירושו שאתה מעביר אותו. לכן, כדי להשתמש במאפיין החלוקתי לסילוק סוגריים, הכפל את המונח שמחוץ להםכֹּלמונח בתוכם. אז היית מכפיל 2 ואיקסלהשיג 2איקס, והיית מכפיל 2 ו -4 כדי לקבל −8. בפשטות, זה נראה כמו:
2 (x - 4) = 2x - 8
הנוסחה לרכוש חלוקתי היא
a (b + c) = ab + ac
אתה יכול גם להשתמש במאפיין ההפצה כדי לשלוף גורם משותף מביטוי. הנוסחה הזו היא
ab + ac = a (b + c)
לדוגמא, בביטוי 3איקס+ 9, שני המונחים מתחלקים ב -3. משוך את הגורם אל מחוץ לסוגריים והשאיר את השאר בפנים: 3 (איקס + 3).
מאפייני אלגברה למספרים שליליים
התכונה הפוכה תוסףאומר שאם תוסיף מספר אחד עם הגרסה ההפוכה או השלילית שלו, תקבל אפס. לדוגמא, -5 + 5 = 0. בדוגמה של עולם אמיתי, אם אתה חייב למישהו 5 $ ואז תקבל 5 $, עדיין לא יהיה לך כסף כי אתה צריך לתת את ה -5 $ האלה כדי לשלם את החוב. הנוסחה היא
a + (−a) = 0 = (−a) + a
התכונה הפוכה מכפלתאומר שאם תכפיל מספר בשבר עם אחד במונה ומספר זה במכנה, תקבל אחד:
a \ \ frac {1} {a} = 1
אם תכפיל 2 ב 1/2, תקבל 2/2. כל מספר בפני עצמו הוא תמיד 1.
מאפייני שלילהלהכתיב ריבוי מספרים שליליים. אם תכפיל מספר שלילי וחיובי, התשובה שלך תהיה שלילית:
(-a) (b) = -ab \ text {and} - (ab) = -ab
אם תכפיל שני מספרים שליליים, התשובה שלך תהיה חיובית:
- (- a) = a \ text {and} (-a) (- b) = ab
אם יש לך שלילי מחוץ לסוגריים, השלילי הזה מחובר ל -1 בלתי נראה. אותו -1 מופץ לכל מונח בסוגריים. הנוסחה היא
- (a + b) = (-a) + (-b) = - a - b
לדוגמה
- (x - 3) = -x + 3
כי הכפלת −1 ו- −3 תתן לך 3.
מאפייני אפס
הרכוש זהות של תוספתקובע כי אם תוסיף מספר כלשהו ואפס, תקבל את המספר המקורי:
a + 0 = a
לדוגמה,
4 + 0 = 4
התכונה מכפלת של אפסקובע שכאשר מכפילים מספר כלשהו באפס, תמיד תקבלו אפס:
a × 0 = 0
לדוגמה
4 × 0 = 0
משתמש באפס מוצר מאפיין,אתה יכול לדעת בוודאות שאם התוצר של שני מספרים הוא אפס, אז אחד הכפולות הוא אפס. הנוסחה קובעת זאת
\ text {if} ab = 0 \ text {, ואז} a = 0 \ text {או} b = 0
מאפייני שוויון
מאפייני שוויון קובעים שמה שאתה עושה לצד אחד של המשוואה, עליך לעשות לצד השני. התוספת רכוש של שוויוןקובע שאם יש לך מספר לצד אחד, עליך להוסיף אותו לצד השני. לדוגמה,
\ text {if} 5 + 2 = 3 + 4 \ text {, ואז} 5 + 2 + 3 = 3 + 4 + 3
הרכוש חיסור של שוויוןקובע כי אם מחסרים מספר מצד אחד, עליכם לחסר אותו מהצד השני. לדוגמה,
\ text {if} x + 2 = 2x - 3 \ text {, ואז} x + 2 - 1 = 2x - 3 - 1
זה ייתן לך
x + 1 = 2x - 4
ואיקסישווה 5 בשתי המשוואות.
הנכס כפל של שוויוןקובע שאם מכפילים מספר לצד אחד, עליכם להכפיל אותו בצד השני. מאפיין זה מאפשר לך לפתור משוואות חלוקה. לדוגמא, אם
\ frac {x} {4} = 2
הכפל את שני הצדדים ב -4 כדי לקבלאיקס = 8.
החלוקת רכוש של שוויוןמאפשר לך לפתור משוואות כפל מכיוון שמה שאתה מחלק בצד אחד, עליך לחלק בצד השני. למשל, לחלק
2x = 8
על ידי 2 משני הצדדים, מניב
x = 4