כיצד למצוא נגזרים

אחת הפעולות החשובות שאתה מבצע בחשבון היא מציאת נגזרים. הנגזרת של פונקציה נקראת גם קצב השינוי של אותה פונקציה. למשל, אם x (t) הוא המיקום של מכונית בכל זמן t, אז הנגזרת של x, שנכתבת dx / dt, היא מהירות המכונית. כמו כן, ניתן לדמיין את הנגזרת כשיפוע של קו המשיק לגרף של פונקציה. ברמה התיאורטית, כך מתמטיקאים מוצאים נגזרות. בפועל, מתמטיקאים משתמשים בקבוצות של כללים בסיסיים ובטבלאות חיפוש.

השיפוע של קו בין שתי נקודות הוא העלייה, או ההבדל בערכי y חלקי הריצה, או ההבדל בערכי x. השיפוע של פונקציה y (x) לערך מסוים של x מוגדר כשיפוע של קו המשיק לפונקציה בנקודה [x, y (x)]. כדי לחשב את השיפוע בונים קו בין הנקודה [x, y (x)] לנקודה הסמוכה [x + h, y (x + h)], כאשר h הוא מספר קטן מאוד. עבור שורה זו, הריצה, או השינוי בערך x הוא h, והעלייה, או השינוי בערך y, הוא y (x + h) - y (x). כתוצאה מכך, השיפוע של y (x) בנקודה [x, y (x)] שווה בערך ל- [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. כדי לקבל את השיפוע במדויק, אתה מחשב את ערך המדרון ככל ש- h הולך וקטן, עד ל"גבול "שם הוא הולך לאפס. השיפוע המחושב בדרך זו הוא הנגזרת של y (x), שנכתבת כ- y '(x) או dy / dx.

ניתן להשתמש בשיטת השיפוע / הגבלה כדי לחשב את הנגזרות של הפונקציות כאשר y שווה x לעוצמה של a, או y (x) = x ^ a. למשל, אם y שווה ל- x קוביות, y (x) = x ^ 3, אז dy / dx הוא הגבול כאשר h הולך לאפס של [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. הרחבה (x + h) ^ 3 נותנת [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, שמצטמצם ל- 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 אחרי שאתה מתחלק מאת ח. במגבלה כאשר h הולך לאפס, כל המונחים שיש בהם h הולכים גם הם לאפס. אז, y '(x) = dy / dx = 3x ^ 2. אתה יכול לעשות זאת עבור ערכים של אחר שאינו 3, ובאופן כללי, אתה יכול להראות ש d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

ניתן לכתוב פונקציות רבות כביכול מה שמכונה סדרת כוח, שהן סכום של מונחי מספר אינסופיים, היכן כל אחד מהם מהצורה C (n) x ^ n, כאשר x הוא משתנה, n הוא מספר שלם ו- C (n) הוא מספר ספציפי לכל ערך של נ. לדוגמה, סדרת הכוח עבור פונקציית הסינוס היא Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., כאשר "..." פירושו מונחים שנמשכים עד אינסוף. אם אתה מכיר את סדרת הכוח לפונקציה, אתה יכול להשתמש בנגזרת של הכוח x ^ n כדי לחשב את נגזרת הפונקציה. לדוגמא, הנגזרת של Sin (x) שווה ל- 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., שזה במקרה סדרת הכוח של Cos (x).

הנגזרות של פונקציות בסיסיות כגון סמכויות כמו x ^ a, פונקציות אקספוננציאליות, פונקציות יומן ופונקציות טריג, נמצאות בשיטת השיפוע / מגבלה, בשיטת סדרת הכוח או בשיטות אחרות. נגזרות אלה רשומות בטבלאות. למשל, אתה יכול לחפש שהנגזרת של Sin (x) היא Cos (x). כאשר פונקציות מורכבות הן שילובים של הפונקציות הבסיסיות, אתה זקוק לכללים מיוחדים כגון כלל השרשרת וכלל המוצר, אשר ניתנים גם בטבלאות. לדוגמה, אתה משתמש בכלל השרשרת כדי לגלות שהנגזרת של Sin (x ^ 2) היא 2xCos (x ^ 2). אתה משתמש בכלל המוצר כדי לגלות שהנגזרת של xSin (x) היא xCos (x) + Sin (x). באמצעות טבלאות וכללים פשוטים תוכלו למצוא את הנגזרת של כל פונקציה. אך כאשר פונקציה מורכבת ביותר, לעיתים מדענים פונים לתוכנות מחשב לצורך עזרה.