לימוד ההתמודדות עם מעריכים מהווה חלק בלתי נפרד מכל חינוך למתמטיקה, אך למרבה המזל הכללים להכפלתם וחלוקתם תואמים את הכללים למעריכים שאינם חלקים. הצעד הראשון להבנת ההתמודדות עם מעריכים חלקיים הוא קבלת פירוט מה הם בדיוק, ואז אתה יכול להסתכל על הדרכים שבהן אתה יכול לשלב אקספוננטים כאשר הם מוכפלים או מחולקים ויש להם את אותו הדבר בסיס. בקצרה, אתה מוסיף את המעריכים יחד כאשר מכפילים ומחסירים אחד מהשני בעת חלוקה, בתנאי שיש להם את אותו הבסיס.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
הכפל מונחים עם אקספוננטים באמצעות הכלל הכללי:
איקסא + איקסב = איקס(א + ב)
וחלק מונחים עם אקספוננטים באמצעות הכלל:
איקסא ÷ איקסב = איקס(א – ב)
כללים אלה עובדים עם כל ביטוי במקוםאוב, אפילו שברים.
מהם מעריצים חלקיים?
מעריכי שבר מספקים דרך קומפקטית ושימושית לבטא שורשים מרובעים, קוביות ושורשים גבוהים יותר. המכנה במעריך אומר לך איזה שורש של המספר "בסיס" מייצג המונח. במונח כמואיקסא, אתה מתקשראיקסהבסיס ואהמעריך. אז אקספוננט חלקי אומר לך:
x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
המכנה של שניים במעריך אומר לך שאתה לוקח את השורש הריבועי שלאיקסבביטוי זה. אותו כלל בסיסי חל על שורשים גבוהים יותר:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
וגם
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
דפוס זה נמשך. לדוגמא קונקרטית:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
וגם
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
כללי מערך השבר: הכפלת המעריכים השבריים עם אותו הבסיס
הכפל מונחים עם מעריכים חלקיים (בתנאי שיש להם אותו בסיס) על ידי הוספת המעריכים. לדוגמה:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
מאזאיקס1/3 פירושו "שורש הקוביה שלאיקס, "זה הגיוני לחלוטין שזה מוכפל מעצמו פעמיים נותן את התוצאהאיקס. אתה עלול להיתקל גם בדוגמאות כמואיקס1/3 × איקס1/3, אבל אתה מתמודד עם אותם בדיוק באותו אופן:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
העובדה שהביטוי בסוף הוא עדיין מעריך חלקי לא משנה את התהליך. ניתן לפשט זאת אם תציין זאתאיקס2/3 = (איקס1/3)2 = ∛איקס2. עם ביטוי כזה, זה לא משנה אם אתה לוקח את השורש או את הכוח קודם. דוגמה זו ממחישה כיצד לחשב אלה:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
מכיוון שקל לעבוד על שורש הקוביה 8, התמודד עם זה באופן הבא:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
אז זה אומר:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
יתכן שתיתקל גם במוצרים של מעריצי שברים עם מספרים שונים במכנים של השברים, ותוכל להוסיף אקספוננטים אלה באותו אופן שהיית מוסיפה שברים אחרים. לדוגמה:
\ התחל {מיושר} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {align}
כל אלה ביטויים ספציפיים לכלל הכללי להכפלת שני ביטויים עם אקספוננטים:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
כללי אקספוננט שבר: חלוקת אקספוננטים שבריים באותו בסיס
התמודד עם חלוקות של שני מספרים עם מעריכים חלקיים על ידי הפחתת המעריך שאתה מחלק (המחלק) לזה שאתה מחלק (הדיבידנד). לדוגמה:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
זה הגיוני, מכיוון שכל מספר המחולק בפני עצמו שווה לאחד, וזה תואם את התוצאה הסטנדרטית שכל מספר שמועלה לכוח 0 שווה למספר. הדוגמה הבאה משתמשת במספרים כבסיסים ומעריכים שונים:
\ התחל {מיושר} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ סוף {מיושר}
מה שאתה יכול לראות גם אם אתה מציין ש- 161/2 = 4 ו -161/4 = 2.
כמו בכפל, אתה עלול גם בסופו של דבר לקבל מעריכים חלקיים שיש להם מספר שאינו אחד במונה, אך אתה מתמודד עם אותם באותה צורה.
אלה פשוט מבטאים את הכלל לחלוקת מעריצים:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
הכפלת חלוקת המעריכים השבריים בבסיסים שונים
אם בסיסי התנאים שונים, אין דרך קלה להכפיל או לחלק מעריצים. במקרים אלה, פשוט חישבו את ערך המונחים האישיים ואז בצעו את הפעולה הנדרשת. היוצא מן הכלל היחיד הוא אם המעריך זהה, ובמקרה זה תוכל להכפיל או לחלק אותם באופן הבא:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4