כדי למצוא פונקציה הפוכה במתמטיקה, תחילה עליך להיות פונקציה. זה יכול להיות כמעט כל קבוצת פעולות עבור המשתנה הבלתי תלויאיקסשמניב ערך למשתנה התלויy. באופן כללי, כדי לקבוע את ההפך של פונקציה שלאיקס, תחליףyלאיקסואיקסלyבפונקציה ואז פתר עבוראיקס.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
באופן כללי, למצוא את ההפך של פונקציה שלאיקס, תחליףyלאיקסואיקסלyבפונקציה ואז פתר עבוראיקס.
מוגדרת פונקציה הפוכה
ההגדרה המתמטית של פונקציה היא יחס (איקס, y) עבורו רק ערך אחד שלyקיים לכל ערך שלאיקס. לדוגמא, כאשר הערך שלאיקסהוא 3, היחס הוא פונקציה אםyיש רק ערך אחד, כגון 10. ההפך של פונקציה לוקח אתyערכי הפונקציה המקורית כשלהאיקסערכים, ומייצריםyערכים שהם הפונקציה המקוריתאיקסערכים. לדוגמא, אם הפונקציה המקורית החזירה אתyהערכים 1, 3 ו- 10 כאשר זהאיקסלמשתנה היו הערכים 0, 1 ו -2, הפונקציה ההפוכה תחזורyערכים 0, 1 ו -2 כאשר הואאיקסלמשתנה היו הערכים 1, 3 ו- 10. בעיקרו של דבר, פונקציה הפוכה מחליפה אתאיקסוyערכי המקור. בשפה מתמטית, אם הפונקציה המקורית היא f (איקס) וההפוך הוא g (איקס), לאחר מכן
g (f (x)) = x
גישת אלגברה לתפקוד הפוך
כדי למצוא את ההפך של פונקציה הכוללת את שני המשתנים,
איקסוy, החלף את האיקסתואם עםyוהyתואם עםאיקס, ולפתור עבוראיקס. לדוגמא, קח את המשוואה הליניארית,y = 7איקס − 15.y = 7x - 15 \ quad \ text {(פונקציה מקורית)} \\ \, \\ x = 7y - 15 \ quad \ text {(החלף y ב- x ו- x ב- y)} \\ \, \\ x + 15 = 7y - 15 + 15 \ quad \ text {(הוסף 15 לשניהם צדדים.)} \\ \, \\ x + 15 = 7y \ quad \ text {(Simplify)} \\ \, \\ \ frac {x + 15} {7} = \ frac {7y} {7} \ quad \ text {(חלק את שני הצדדים ב- 7.)} \\ \, \\ \ frac {x + 15} {7} = y \ quad \ text {(לפשט)}
הפונקציה, (איקס + 15) / 7 = yהוא ההפוך של המקור.
פונקציות טריגונומטריות הפוכות
כדי למצוא את ההופכי של פונקציה טריגונומטרית, כדאי לדעת על כל פונקציות הטריג וההפכים שלהן. לדוגמה, אם אתה רוצה למצוא את ההפך שלy= חטא (איקס), אתה צריך לדעת שההופכי של פונקציית הסינוס הוא פונקציית קשת החץ; אלגברה פשוטה לא תביא אותך לשם ללא קשת (איקס). לפונקציות הטריג האחרות, קוסינוס, משיק, קוסקנט, סיקנט וקוטנגנג, יש את הפונקציות ההפוכות ארקוזין, ארקטנגנט, ארקוסנט, קשת וארקוטנגנט בהתאמה. לדוגמא, ההפך שלy= cos (איקס) הואy= ארקוס (איקס).
גרף של פונקציה והפוך
הגרף של פונקציה וההפך שלה מעניין. כאשר אתה מתווה את שתי העקומות, אז צייר קו המתאים לפונקציה,y = איקס, תבחין שהשורה מופיעה כ"מראה ". כל עקומה או קו שמתחתy = איקס"משתקף" מעליו באופן סימטרי. זה נכון לכל פונקציה, בין אם פולינומית, טריגונומטרית, מעריכית או לינארית. באמצעות עיקרון זה, ניתן להמחיש גרפית את הפוכה של פונקציה על ידי תרשים הפונקציה המקורית, ציור הקו בy = איקס, ואז מצייר את הקימורים או הקווים הדרושים ליצירת "תמונת מראה" שיש בהy = איקסכציר סימטריה.