מהם תת קבוצות של מספרים אמיתיים?

קבוצת המספרים האמיתיים מורכבת מכל המספרים בשורת המספרים. תת-קבוצות יכולות לכלול כל אוסף של מספרים, אך לאלמנטים של תת-קבוצה חשובה צריך להיות לפחות כמה מאפיינים משותפים. רוב קבוצות המשנה הללו שימושיות רק לחישובים ספציפיים, אך ישנן כמה בעלות מאפיינים מעניינים ועוזרות בהבנת אופן פעולת מערכת המספרים האמיתית.

TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)

קבוצות המשנה החשובות ביותר של קבוצת המספרים האמיתיים כוללים את המספרים הרציונליים והלא רציונליים. ניתן לחלק את מערך המספרים הרציונליים לקבוצות משנה נוספות, כולל המספרים הטבעיים, המספרים השלמים והמספרים השלמים. קבוצות משנה אחרות של המספרים האמיתיים הן המספרים הזוגיים והמשונים, המספרים הראשוניים והמספרים המושלמים. בסך הכל יש מספר אינסופי של קבוצות משנה של המספרים האמיתיים.

עבור כל קבוצה המכילה כמות של n אלמנטים, מספר קבוצות המשנה הוא 2^נ. לקבוצת המספרים האמיתיים יש אינסוף יסודות של אלמנטים, ולכן האקספוננציאלי המקביל של 2 הוא גם אינסופי, ונותן אינסוף תת קבוצות.

ניתן להשתמש ברבים מתתי קבוצות משנה אלה בעבודה עם מערכת המספרים האמיתית ובמהלך חישובים, אך הם שימושיים רק למטרות ספציפיות. לדוגמא, לחישוב מחירן של כמה פיצות לחברים, רק תת-המספרים של עשר למאה עשויה לעניין. מדחום חיצוני עשוי להציג רק את קבוצת המשנה של הטמפרטורות ממינוס 40 ל -120 מעלות פרנהייט. עבודה עם קבוצות משנה מסוג זה שימושית מכיוון שכל תוצאה מחוץ לקבוצת המשנה הצפויה כנראה שגויה.

קבוצות המשנה הכלליות יותר של המספרים האמיתיים מסווגות מספרים על פי מאפייניהם, ולתת קבוצות אלה יש מאפיינים ייחודיים כתוצאה מכך. מערכת המספרים האמיתית התפתחה מקבוצות משנה כגון המספרים הטבעיים, המשמשים לספירה, ותתי קבוצות כאלה מהווים בסיס להבנת אלגברה.

מערך המספרים האמיתיים מורכב מהמספרים הרציונליים והלא רציונליים. מספרים רציונליים הם מספרים שלמים ומספרים שיכולים לבוא לידי ביטוי כשבר. כל שאר המספרים האמיתיים אינם רציונליים, והם כוללים מספרים כמו השורש הריבועי של 2 והמספר pi. מכיוון שמספרים לא רציונליים מוגדרים כתת קבוצה של מספרים ממשיים, כל המספרים הלא רציונליים חייבים להיות מספרים ממשיים.

ניתן לחלק מספרים רציונליים לקבוצות משנה נוספות. המספרים הטבעיים הם מספרים ששימשו היסטורית בספירה, והם הרצף 1, 2, 3 וכו '. המספרים השלמים הם המספרים הטבעיים בתוספת אפס. המספרים השלמים הם המספרים השלמים בתוספת המספרים הטבעיים השליליים.

קבוצות משנה אחרות של המספרים הרציונליים כוללות מושגים כמו מספרים זוגיים, אי זוגיים, ראשוניים ומושלמים. מספרים זוגיים הם מספרים שלמים שיש להם 2 כגורם; מספרים אי-זוגיים הם כל שאר המספרים השלמים האחרים. מספרים ראשוניים הם מספרים שלמים שיש להם רק את עצמם ו -1 כגורמים. מספרים מושלמים הם מספרים שלמים שהגורמים שלהם מסתכמים במספר. המספר המושלם הקטן ביותר הוא 6 והגורמים שלו, 1, 2 ו- 3 מסתכמים ב -6.

באופן כללי, חישובים המתבצעים עם מספרים אמיתיים נותנים תשובות למספר אמיתי, אך יש יוצא מן הכלל. אין מספר ממשי שכאשר הוא מוכפל בעצמו נותן מספר ממשי שלילי כתשובה. כתוצאה מכך, השורש הריבועי של מספר ממשי שלילי אינו יכול להיות מספר ממשי. השורשים הריבועיים של המספרים האמיתיים השליליים נקראים מספרים דמיוניים, והם היסודות של קבוצת מספרים נפרדים לחלוטין מהמספרים האמיתיים.

חקר תת הקבוצות של המספרים האמיתיים הוא חלק מתורת המספרים, והוא מסווג מספרים כדי להקל על ההבנה כיצד פועלת תורת המספרים. היכרות עם קבוצות משנה אמיתיות ותכונותיהן מהווה בסיס טוב ללימודים מתמטיים נוספים.