שיעורי שינוי מופיעים בכל המדעים, ובמיוחד בפיזיקה באמצעות כמויות כמו מהירות ותאוצה. נגזרים מתארים את קצב השינוי של כמות אחת ביחס לאחרת מבחינה מתמטית, אך מחשב לפעמים הם יכולים להיות מסובכים, ואולי יוצג בפניך גרף ולא פונקציה במשוואה טופס. אם מוצג בפניכם גרף של עקומה ועליכם למצוא את הנגזרת ממנו, אולי לא תוכלו להיות מדויקים כמו במשוואה, אך תוכלו להעריך בקלות.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
בחר נקודה בגרף כדי למצוא את ערך הנגזרת ב.
שרטט קו ישר המשיק לעקומת הגרף בנקודה זו.
קח את המדרון של קו זה כדי למצוא את ערך הנגזרת בנקודה שבחרת בגרף.
מחוץ לתפאורה המופשטת של הבדל של משוואה, אתה עלול להתבלבל מעט לגבי מהי נגזרת באמת. באלגברה, נגזרת של פונקציה היא משוואה שאומרת לך את הערך של "שיפוע" הפונקציה בכל נקודה. במילים אחרות, זה אומר לך כמה כמות אחת משתנה בהתחשב בשינוי קטן באחרת. בתרשים, השיפוע או השיפוע של הקו מספרים לך כמה המשתנה התלוי (ממוקם עלyמשתנה עם המשתנה הבלתי תלוי (עלאיקס-צִיר).
עבור גרפים בקו ישר, אתה קובע את קצב השינוי (הקבוע) על ידי חישוב שיפוע הגרף. מערכות יחסים המתוארות על ידי עקומות אינן קלות להתמודדות, אך העיקרון שהנגזרת פירושה רק השיפוע (בנקודה ספציפית זו) עדיין נכון.
עבור מערכות יחסים המתוארות על ידי עקומות, הנגזרת לוקחת ערך שונה בכל נקודה לאורך העקומה. כדי לאמוד את הנגזרת של הגרף, עליך לבחור נקודה שאליה יש לקחת את הנגזרת. לדוגמא, אם יש לך גרף המציג את המרחק שעבר מול הזמן, בגרף ישר, השיפוע יגיד לך את המהירות הקבועה. למהירויות המשתנות עם הזמן הגרף יהיה עקומה, אך קו ישר שנוגע רק ב עקומה בנקודה אחת (קו המשיק לעקומה) מייצגת את קצב השינוי בספציפי זה נְקוּדָה.
בחר נקודה שאתה צריך לדעת את הנגזרת בה. שימוש במרחק נסיעה לעומת דוגמת זמן, בחר את השעה שבה ברצונך לדעת מהירות הנסיעה. אם אתה צריך לדעת את המהירות בכמה נקודות שונות, תוכל לעבור את התהליך הזה עבור כל נקודה בודדת. אם ברצונך לדעת מהירות 15 שניות לאחר תחילת התנועה, בחר את הנקודה על העקומה ב 15 שניות עלאיקס-צִיר.
שרטט קו משיק לעקומה בנקודה בה אתה מעוניין. קח את הזמן שלך כשאתה עושה את זה, כי זה החלק החשוב והמאתגר ביותר בתהליך. ההערכה שלך תהיה טובה יותר אם תשרטט קו משיק מדויק יותר. החזק סרגל עד לנקודה על העקומה והתאם את כיוון כיוון שהקו שתצייררקגע בעקומה בנקודה היחידה שאתה מעוניין בה.
שרטט את הקו שלך כל עוד הגרף יאפשר. ודא שאתה יכול לקרוא בקלות שני ערכים עבור שניהםאיקסוyקואורדינטות, אחת ליד תחילת הקו שלך ואחת ליד הסוף. אינך זקוק לחלוטין לשרטט קו ארוך (טכנית כל קו ישר מתאים), אך קווים ארוכים נוטים להיות קלים יותר למדידת שיפוע.
אתר שני מקומות בקו שלך והערה את ה-איקסוyקואורדינטות עבורם. לדוגמה, דמיין את קו המשיק שלך כשני נקודות בולטות באיקס = 1, y= 3 ואיקס = 10, y= 30, שאפשר לקרוא לו נקודה 1 ונקודה 2. שימוש בסמליםאיקס1 וy1 לייצג את הקואורדינטות של הנקודה הראשונה ואיקס2 וy2 לייצג את הקואורדינטות של הנקודה השנייה, המדרוןMניתן ע"י:
m = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1}
זה אומר לך את הנגזרת של העקומה בנקודה בה הקו נוגע בעקומה. בדוגמה,איקס1 = 1, איקס2 = 10, y1 = 3 וy2 = 30, אז:
\ התחל {align} m & = \ frac {30 - 3} {10 - 1} \\ \, \\ & = \ frac {27} {9} \\ \, \\ & = 9 \ end {align}
בדוגמה, תוצאה זו תהיה המהירות בנקודה הנבחרת. אז אם האיקסציר נמדד בשניות וyהציר נמדד במטרים, התוצאה פירושה שהרכב המדובר נסע ב -3 מטר לשנייה. ללא קשר לכמות הספציפית שאתה מחשב, תהליך אומדן הנגזרת זהה.