אלגברה כוללת לעיתים קרובות פישוט ביטויים, אך ביטויים מסוימים מבלבלים יותר להתמודד עם אחרים. מספרים מורכבים כוללים את הכמות המכונהאני, מספר "דמיוני" עם הנכסאני= √−1. אם אתה צריך פשוט ביטוי הכולל מספר מורכב, זה אולי נראה מרתיע, אבל זה תהליך די פשוט ברגע שאתה לומד את הכללים הבסיסיים.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
פשט מספרים מורכבים על ידי ביצוע כללי האלגברה עם מספרים מורכבים.
מהו מספר מורכב?
מספרים מורכבים מוגדרים על ידי הכללתםאנימונח, שהוא השורש הריבועי של מינוס אחד. במתמטיקה ברמה הבסיסית, שורשים מרובעים של מספרים שליליים לא באמת קיימים, אך הם מופיעים מדי פעם בבעיות אלגברה. הצורה הכללית למספר מורכב מראה את המבנה שלהם:
z = a + bi
איפהzמתייג את המספר המורכב,אמייצג כל מספר (הנקרא החלק "האמיתי"), ובמייצג מספר אחר (המכונה החלק ה"דמיוני "), שניהם יכולים להיות חיוביים או שליליים. אז מספר מורכב לדוגמא הוא:
z = 2 −4i
מכיוון שניתן לייצג את כל השורשים הריבועיים של המספרים השליליים בכפולותאני, זו הצורה לכל המספרים המורכבים. מבחינה טכנית, מספר רגיל רק מתאר מקרה מיוחד של מספר מורכב שבוב= 0, כך שכל המספרים יכולים להיחשב מורכבים.
כללים בסיסיים לאלגברה עם מספרים מורכבים
כדי להוסיף ולחסר מספרים מורכבים, פשוט להוסיף או לחסר את החלקים האמיתיים והדמיוניים בנפרד. אז למספרים מורכביםz = 2 – 4אניוw = 3 + 5אניהסכום הוא:
\ התחל {מיושר} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {מיושר}
חיסור המספרים עובד באותו אופן:
\ התחל {מיושר} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2-3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ סוף {מיושר }
כפל הוא פעולה פשוטה נוספת עם מספרים מורכבים, מכיוון שהיא עובדת כמו כפל רגיל אלא שאתה צריך לזכור את זהאני2 = −1. אז כדי לחשב 3אני × −4אני:
3i × -4i = -12i ^ 2
אך מאזאני2= −1, ואז:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
עם מספרים מורכבים מלאים (באמצעותz = 2 – 4אניוw = 3 + 5אנישוב), תכפיל אותם באותו אופן שהיית עושה עם מספרים רגילים כמו (א + ב) (ג + ד), בשיטת "הראשון, הפנימי, החיצוני, האחרון" (FOIL), לתת (א + ב) (ג + ד) = ac + לִפנֵי הַסְפִירָה + מוֹדָעָה + bd. כל שעליך לזכור הוא לפשט את כל המקרים שלאני2. אז למשל:
\ התחל {מיושר} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {align}
חלוקת מספרים מורכבים
חלוקת מספרים מורכבים כרוכה בהכפלת המונה ומכנה השבר בצירוף המורכב של המכנה. הצירוף המורכב פירושו רק גרסת המספר המורכב עם החלק המדומה הפוך בסימן. אז בשבילz = 2 – 4אני, הצמידה המורכבתz = 2 + 4אני, ועבורw = 3 + 5אני, w = 3 −5אני. לבעיה:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
הצמידה הדרושה היאw*. חלק את המונה והמכנה בזה כדי לתת:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
ואז אתה עובד כמו בסעיף הקודם. המונה נותן:
\ התחל {מיושר} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ סוף {מיושר}
והמכנה נותן:
\ התחל {מיושר} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ סוף {מיושר}
זה אומר:
\ התחל {align} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {align}
פישוט מספרים מורכבים
השתמש בכללים לעיל לפי הצורך כדי לפשט ביטויים מורכבים. לדוגמה:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
ניתן לפשט זאת באמצעות כלל ההוספה במונה, כלל הכפל במכנה ואז השלמת החלוקה. למונה:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
למכנה:
\ התחל {מיושר} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ סוף {מיושר}
החזרת אלה למקומם נותנת:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
הכפלת שני החלקים על ידי צמידת המכנה מובילה ל:
\ התחל {מיושר} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {align}
אז זה אומרzמפשט כדלקמן:
\ התחל {align} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {מיושר}