במתמטיקה, פונקציה היא כלל המתייחס לכל אלמנט בקבוצה אחת, המכונה תחום, בדיוק לאלמנט אחד בקבוצה אחרת, הנקרא טווח. עלאיקס-yציר, התחום מיוצג עלאיקס-ציר (ציר אופקי) והתחום עלy-ציר (ציר אנכי). כלל המתייחס לאלמנט אחד בתחום ליותר מאלמנט אחד בטווח אינו פונקציה. משמעות דרישה זו היא שאם תרשימו פונקציה, לא תוכלו למצוא קו אנכי החוצה את הגרף ביותר ממקום אחד.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
יחס הוא פונקציה רק אם הוא מתייחס לכל אלמנט בתחום שלו לאלמנט אחד בלבד בטווח. כשאתה משרטט פונקציה, קו אנכי יחתוך אותה בנקודה אחת בלבד.
ייצוג מתמטי
מתמטיקאים מייצגים בדרך כלל פונקציות באותיות "f(איקס), "למרות שכל מכתבים אחרים עובדים באותה מידה. קראת את האותיות כ- "fשֶׁלאיקס"אם תבחר לייצג את הפונקציה כ-ז(y), היית קורא את זה בתור "זשֶׁלyהמשוואה לפונקציה מגדירה את הכלל לפיו ערך הקלטאיקסהופך למספר אחר. יש אינסוף דרכים לעשות זאת. להלן שלוש דוגמאות:
f (x) = 2x \\ \, \\ g (y) = y ^ 2 + 2y + 1 \\ \, \\ p (m) = \ frac {1} {\ sqrt {m - 3}}
קביעת התחום
קבוצת המספרים שעבורה הפונקציה "עובדת" היא התחום. זה יכול להיות כל המספרים, או שזה יכול להיות קבוצה ספציפית של מספרים. התחום יכול להיות גם כל המספרים למעט אחד או שניים שהפונקציה לא עובדת עבורם. לדוגמא, הדומיין של הפונקציה
f (x) = \ frac {1} {2-x}
הוא כל המספרים למעט 2, מכיוון שכאשר מקלידים שניים, המכנה הוא 0 והתוצאה לא מוגדרת. הדומיין עבור
\ frac {1} {4 - x ^ 2}
מצד שני, כל המספרים למעט +2 ו- -2 מכיוון שהריבוע של שני המספרים הללו הוא 4.
ניתן גם לזהות את תחום הפונקציה על ידי התבוננות בגרף שלה. החל משמאל קיצוני ועבר ימינה, צייר קווים אנכיים דרך ה-איקס-צִיר. התחום הוא כל הערכים שלאיקסשבגינן הקו מצטלב בתרשים.
מתי קשר אינו פונקציה?
בהגדרה, פונקציה מתייחסת לכל אלמנט בתחום לאלמנט אחד בלבד בטווח. פירוש הדבר שכל קו אנכי אתה מצייר דרך ה-איקס-ציר יכול לחתוך את הפונקציה בנקודה אחת בלבד. זה עובד על כל המשוואות הליניאריות והמשוואות בעלות הספק גבוה יותר שרק המונח x מועלה למעריך. זה לא תמיד עובד למשוואות בהן שניהםאיקסוyתנאים מועלים לכוח. לדוגמה,איקס2 + y2 = א2 מגדיר מעגל. קו אנכי יכול לחתוך מעגל ביותר מנקודה אחת, ולכן משוואה זו אינה פונקציה.
באופן כללי, זוגיותf(איקס) = yהיא פונקציה רק אם לכל ערך שלאיקסשאתה מתחבר אליו, אתה מקבל רק ערך אחד עבורy. לפעמים הדרך היחידה לדעת אם מערכת יחסים נתונה היא פונקציה או לא היא לנסות ערכים שונים עבור x כדי לראות אם הם מניבים ערכים ייחודיים עבורy.
דוגמאות:האם המשוואות הבאות מגדירות פונקציות?
y = 2x +1
זו המשוואה של קו ישר עם שיפוע 2 ו-yיירט 1, אז זהISתפקוד.
y ^ 2 = x + 1
לתתאיקס= 3. הערך עבור y יכול להיות ± 2, אז זהלאתפקוד.
y ^ 3 = x ^ 2
לא משנה לאיזה ערך קבענואיקסנקבל רק ערך אחד עבורy, אז זהISתפקוד.
y ^ 2 = x ^ 2
כיy = ±√איקס2, זהלאתפקוד.