באלגברה, רצפי מספרים חשובים ללימוד מה קורה כשמשהו הולך וגדל. רצף חשבון מוגדר על ידי ההפרש המשותף, שהוא ההפרש בין מספר אחד למשנהו ברצף. עבור רצפי חשבון, הבדל זה הוא ערך קבוע ויכול להיות חיובי או שלילי. כתוצאה מכך, רצף חשבוני הולך וגדל בכמות קבועה בכל פעם שמוסיפים מספר חדש לרשימה המרכיבה את הרצף.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
רצף חשבוני הוא רשימת מספרים שבהם מונחים עוקבים שונים זה מזה בכמות קבועה, ההבדל הנפוץ. כאשר ההבדל הנפוץ הוא חיובי, הרצף ממשיך לגדול בכמות קבועה, ואילו אם הוא שלילי, הרצף פוחת. רצפים נפוצים אחרים הם הרצף הגיאומטרי, שבו מונחים שונים זה מזה לפי גורם משותף, ורצף פיבונאצ'י, שבו כל מספר הוא סכום שני המספרים הקודמים.
איך עובד רצף חשבון
רצף חשבון מוגדר על ידי מספר התחלתי, הפרש משותף ומספר המונחים ברצף. לדוגמא, רצף חשבון המתחיל ב- 12, ההבדל הנפוץ של 3 וחמישה מונחים הוא 12, 15, 18, 21, 24. דוגמא לרצף הולך ופוחת הוא שמתחיל עם המספר 3, הבדל שכיח של -2 ושש מונחים. רצף זה הוא 3, 1, −1, −3, −5, −7.
לרצפי חשבון יכולים להיות גם אינסוף מונחים. לדוגמא, הרצף הראשון למעלה עם מספר אינסופי של מונחים יהיה 12, 15, 18,... והרצף הזה ממשיך לאינסוף.
ממוצע אריתמטי
לרצף חשבון יש סדרה מקבילה המוסיפה את כל תנאי הרצף. כאשר מוסיפים את המונחים והסכום מחולק במספר המונחים, התוצאה היא הממוצע החשבוני או הממוצע. הנוסחה לממוצע החשבון היא
\ text {mean} = \ frac {\ text {sum of} n \ text {terms}} {n}
דרך מהירה לחישוב הממוצע של רצף חשבון היא להשתמש בתצפית שכאשר הראשונה והאחרונה מונחים מתווספים, הסכום זהה לזה שנוספים המונחים השני והאחרון האחרון או השלישי והשלישי האחרון תנאים. כתוצאה מכך, סכום הרצף הוא סכום המונחים הראשונים והאחרונים כפול מחצית ממספר המונחים. כדי לקבל את הממוצע, הסכום מחולק במספר המונחים, ולכן הממוצע של רצף חשבון הוא חצי מסכום המונחים הראשונים והאחרונים. לנתנאיםא1 לאנ, הנוסחה המתאימה לממוצע m היא
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
לרצפי חשבון אינסופיים אין מונח אחרון, ולכן הממוצע שלהם אינו מוגדר. במקום זאת, ניתן למצוא ממוצע לסכום חלקי על ידי הגבלת הסכום למספר מוגדר של מונחים. במקרה זה ניתן למצוא את הסכום החלקי ואת ממוצעו באותו אופן כמו לרצף שאינו אינסופי.
סוגים אחרים של רצפים
רצפי מספרים מבוססים לרוב על תצפיות מניסויים או מדידות של תופעות טבע. רצפים כאלה יכולים להיות מספרים אקראיים אך לעתים קרובות רצפים מתגלים כחשבונות או רשימות מסודרות אחרות של מספרים.
לדוגמא, רצפים גיאומטריים נבדלים מרצפים אריתמטיים מכיוון שיש להם גורם משותף ולא הבדל משותף. במקום להוסיף או לחסר מספר לכל מונח חדש, מספר מוכפל או מחולק בכל פעם שמוסיף מונח חדש. רצף שהוא 10, 12, 14,... כרצף חשבון בהפרש משותף 2 הופך ל 10, 20, 40,... כרצף גיאומטרי עם גורם משותף של 2.
רצפים אחרים עוקבים אחר כללים אחרים לחלוטין. לדוגמא, מונחי הרצף של פיבונאצ'י נוצרים על ידי הוספת שני המספרים הקודמים. הרצף שלה הוא 1, 1, 2, 3, 5, 8,... יש להוסיף את המונחים באופן אינדיבידואלי כדי לקבל סכום חלקי מכיוון שהשיטה המהירה להוסיף את המונחים הראשונים והאחרונים אינה פועלת עבור רצף זה.
רצפי חשבון פשוטים אך יש להם יישומים בחיים האמיתיים. אם נקודת המוצא ידועה וניתן למצוא את ההבדל המשותף, ניתן לחשב את ערך הסדרה בנקודה מסוימת בעתיד ולקבוע גם את הערך הממוצע.