במתמטיקה, רצף הוא כל מחרוזת מספרים המסודרת בסדר עולה או יורד. רצף הופך לרצף גיאומטרי כאשר אתה מסוגל להשיג כל מספר על ידי הכפלת המספר הקודם בגורם משותף. לדוגמא, הסדרה 1, 2, 4, 8, 16... הוא רצף גיאומטרי עם הגורם המשותף 2. אם תכפיל מספר כלשהו בסדרה ב -2, תקבל את המספר הבא. לעומת זאת, הרצף 2, 3, 5, 8, 14, 22... אינו גיאומטרי מכיוון שאין גורם משותף בין מספרים. לרצף גיאומטרי יכול להיות גורם משותף חלקי, ובכל מקרה כל מספר עוקב קטן מזה שקדם לו. 1, 1/2, 1/4, 1/8... הוא דוגמה. הגורם המשותף שלה הוא 1/2.
העובדה שלרצף גיאומטרי יש גורם משותף מאפשרת לך לעשות שני דברים. הראשון הוא לחשב כל אלמנט אקראי ברצף (אותו מתמטיקאים אוהבים לכנות "נהאלמנט), והשני הוא למצוא את סכום הרצף הגיאומטרי עד לנהיסוד. כאשר אתה מסכם את הרצף על ידי הצבת סימן פלוס בין כל זוג מונחים, אתה הופך את הרצף לסדרה גיאומטרית.
מציאת האלמנט התשיעי בסדרה גיאומטרית
באופן כללי, אתה יכול לייצג כל סדרה גיאומטרית בצורה הבאה:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
איפה "א"הוא המונח הראשון בסדרה ו"ר"הוא הגורם הנפוץ. כדי לבדוק זאת, שקול את הסדרה שבהא= 1 ור= 2. אתה מקבל 1 + 2 + 4 + 8 + 16... זה עובד!
לאחר שקבענו זאת, ניתן כעת לגזור נוסחה למונח ה- n ברצף (איקסנ).
x_n = ar ^ {(n-1)}
המעריך הואנ- 1 ולאנכדי לאפשר לכתוב את המונח הראשון ברצףar0, ששווה ל- "א."
בדוק זאת על ידי חישוב המונח הרביעי בסדרת הדוגמאות.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
חישוב סכום של רצף גיאומטרי
אם ברצונך לסכם רצף שונה, שהוא אחד עם מנה משותפת הגדולה מ -1 או פחות מ -1, אתה יכול לעשות זאת רק עד מספר סופי של מונחים. ניתן לחשב את הסכום של רצף מתכנס אינסופי, אולם הוא אחד עם היחס המשותף בין 1 ל -1.
כדי לפתח את נוסחת הסכום הגאומטרי, התחל משקול מה אתה עושה. אתה מחפש את סך כל התוספות הבאות:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
כל מונח בסדרה הואark, וkעובר מ 0 לנ− 1. הנוסחה לסכום הסדרה עושה שימוש בסימן ההון - ma - כלומר להוסיף את כל המונחים מ- (k= 0) עד (k = נ − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
כדי לבדוק זאת, שקול את סכום 4 המונחים הראשונים של הסדרה הגיאומטרית המתחילים מ -1 ויש להם גורם משותף 2. בנוסחה שלעיל,א = 1, ר= 2 ונ= 4. אם מחברים ערכים אלה, מקבלים:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
קל לאמת את זה על ידי הוספת המספרים בסדרה בעצמך. למעשה, כאשר אתה זקוק לסכום של סדרה גיאומטרית, בדרך כלל קל יותר להוסיף את המספרים בעצמך כאשר ישנם מונחים מעטים בלבד. אם לסדרה יש מספר רב של מונחים, קל הרבה יותר להשתמש בנוסחת הסכום הגיאומטרי.