פורמולה לנפח מתומן

בגיאומטריה מתומן הוא מצולע עם שמונה צדדים. למתומן רגיל יש שמונה צדדים שווים וזוויות שוות. המתומן הרגיל מוכר בדרך כלל מסימני עצירה. אוקטהדרון הוא פולידרון בעל שמונה צדדים. לשמינית רגילה יש שמונה משולשים עם קצוות באורך שווה. מדובר למעשה בשתי פירמידות מרובעות שנפגשות בבסיסיהן.

הנוסחה לאזור של מתומן רגיל עם צלעות אורך "a" היא 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, כאשר "sqrt" מציין את השורש הריבועי.

ניתן לראות מתומן כ -4 מלבנים, ריבוע אחד במרכז וארבעה משולשים שווה שוקיים בפינות.

הריבוע הוא משטח a ^ 2.

למשולשים צלעות a, a / sqrt (2) ו- a / sqrt (2), על ידי משפט פיתגורס. לכן, לכל אחד מהם שטח של ^ 2/4.

המלבנים הם בשטח a * a / sqrt (2).

הסכום של 9 האזורים הללו הוא 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).

הנוסחה לנפח אוקטהדרון רגיל של צלעות "a" היא ^ 3 * sqrt (2) / 3.

השטח של פירמידה ארבע-צדדית הוא שטח הבסיס * גובה / 3. לכן שטח מתומן רגיל הוא 2 * בסיס * גובה / 3.

בסיס = a ^ 2 טריוויאלי.

בחר שני קודקודים סמוכים, אמור "F" ו- "C." "O" נמצא במרכז. FOC הוא משולש ימני שווה שוקיים עם בסיס "a", כך של- OC ו- OF יש אורך a / sqrt (2) על ידי משפט פיתגורס. אז גובה = a / sqrt (2).

אז נפח אוקטהדרון רגיל הוא 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.

המשטח של אוקטהדרון רגיל הוא שטח משולש שווה צלעות של צד "a" כפול 8 פנים.

כדי להשתמש במשפט פיתגורס, שחרר קו מהקודקוד לבסיס. זה יוצר שני משולשים ימניים, כאשר ההיפוטנוזה של האורך "a" ואורך צד אחד "a / 2". לכן, הצד השלישי חייב להיות sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. אז השטח של משולש שווה צלעות הוא גובה * בסיס / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.

עם 8 צדדים, שטח הפנים של אוקטהדרון רגיל הוא 2 * sqrt (3) * a ^ 2.