האם תהיתם פעם איך קשורים פונקציות טריגונומטריות כמו סינוס וקוסינוס? שניהם משמשים לחישוב צדדים וזוויות במשולשים, אך היחסים הולכים רחוק מזה.זהויות קופונקציהתן לנו נוסחאות ספציפיות המראות כיצד להמיר בין סינוס לקוסינוס, משיק וקוטנגנטי, ובין סיקנט לקוסנט.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
סינוס הזווית שווה לקוסינוס של השלמתו ולהיפך. זה נכון גם לגבי פונקציות אחרות.
דרך קלה לזכור אילו פונקציות הן פונקציות משותפות היא ששתי פונקציות טריג הןפונקציות משולבותאם לאחד מהם יש קידומת "שיתוף" לפניו. כך:
- סינוס ושיתוףסינוס הםשיתוףפונקציות.
- משיק ושיתוףמשיק הםשיתוףפונקציות.
- secant ושיתוףחסידות הםשיתוףפונקציות.
נוכל לחשב הלוך ושוב בין פונקציות משולבות באמצעות הגדרה זו: הערך של פונקציה של זווית שווה לערך של פונקציית המשנה של המשלים.
זה נשמע מסובך, אבל במקום לדבר על הערך של פונקציה באופן כללי בואו נשתמש בדוגמה ספציפית. הסינוסשל זווית שווה ל-קוסינוסשל המשלים שלה. וכך גם לגבי פונקציות משניות אחרות: המשיק של זווית שווה למצב המשלים שלה.
זכרו: שתי זוויות הןמשליםאם הם מסתכמים ב -90 מעלות.
זהות תפקודית במעלות:
(שימו לב כי 90 ° -איקסנותן לנו השלמה של זווית.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ מיטת תינוק (90 ° - x) \\ \ מיטת תינוק (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
זהות תפקוד ברדיאנים
זכרו שאנחנו יכולים גם לכתוב דברים במונחים שלרדיאנים, שהיא יחידת SI למדידת זוויות. תשעים מעלות זהים לרדיאנים π / 2, ולכן אנו יכולים גם לכתוב את זהות הקונקציונליות כך:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
הוכחת זהויות קופונקציה
כל זה נשמע נחמד, אבל איך נוכל להוכיח שזה נכון? בדיקת זה בעצמך על כמה משולשים לדוגמא יכולה לעזור לך להרגיש ביטחון לגביו, אך יש גם הוכחה אלגברית קפדנית יותר. בואו להוכיח את זהות הקופונקציה לסינוס וקוסינוס. אנחנו הולכים לעבוד ברדיאנים, אבל זה כמו להשתמש במעלות.
הוכחה:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
קודם כל, חזור לזכרך לנוסחה זו, כי אנחנו נשתמש בה כהוכחה שלנו:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
הבנת? בסדר. עכשיו נוכיח: חטא (איקס) = cos (π / 2 - x).
אנחנו יכולים לשכתב את הקוס (π / 2 -איקס) ככה:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( איקס)
כי אנחנו יודעים
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {and} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
כך
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
טא-דה! עכשיו בואו נוכיח זאת בקוסינוס!
הוכחה:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
פיצוץ נוסף מהעבר: זוכרים את הנוסחה הזו?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
אנחנו עומדים להשתמש בזה. עכשיו בואו נוכיח:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
אנו יכולים לשכתב את החטא (π / 2 -איקס) ככה:
\ התחל {מיושר} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {align}
כי אנחנו יודעים
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {and} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
אז אנחנו מקבלים
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
מחשבון קופונקציה
נסה כמה דוגמאות לעבודה עם פונקציות משלו לבד. אבל אם אתה נתקע, למתמטיקה סלבריטאים יש מחשבון פונקציונלי המציג פתרונות שלב אחר שלב לבעיות פונקציונליות.
חישוב שמח!