טריגונומטריה יכולה להרגיש כמו נושא די מופשט. נראה שמונחים ארקניים כמו "חטא" ו- "cos" פשוט לא תואמים לשום דבר במציאות, וקשה לתפוס אותם כמושגים. מעגל היחידה עוזר לכך באופן מהותי, ומציע הסבר פשוט לגבי המספרים שאתה מקבל כשאתה לוקח את הסינוס, הקוסינוס או המשיק של זווית. עבור כל סטודנטים למדעים או מתמטיקה, הבנת מעגל היחידה יכולה לבסס את הבנתך את הטריגונומטריה וכיצד להשתמש בפונקציות.
TL; DR (ארוך מדי; לא קרא)
למעגל יחידה יש רדיוס של אחד. תאר לעצמךxyמערכת קואורדינטות המתחילה במרכז המעגל הזה. זוויות הנקודה נמדדות מאיפהאיקס= 1 וy= 0, בצד ימין של המעגל. זוויות גדלות ככל שאתה נע נגד כיוון השעון.
באמצעות מסגרת זו, וyבשביל הy-תאם ואיקסבשביל האיקס-תאום הנקודה במעגל:
חטאθ = y
חַסַת עָלִיםθ = איקס
וכתוצאה מכך:
לְהִשְׁתַזֵףθ = y / איקס
מהו מעגל היחידה?
למעגל "יחידה" יש רדיוס 1. במילים אחרות, המרחק ממרכז המעגל לכל חלק בקצה הוא תמיד 1. יחידת המדידה לא באמת משנה, כי הדבר החשוב ביותר במעגל היחידה הוא שהיא הופכת משוואות וחישובים רבים לפשוטים בהרבה.
הוא משמש גם בסיס שימושי להתבוננות בהגדרות הזוויות. דמיין שמרכז המעגל יושב במרכז מערכת קואורדינטות עם
איקס-ציר פועל אופקי וy-ציר פועל אנכית. המעגל חוצה אתאיקסציר בשעהאיקס = 1, y= 0. מדענים ומתמטיקאים מגדירים את הזווית מאותה נקודה הנעים נגד כיוון השעון. אז הענייןאיקס =1, y= 0 במעגל הוא בזווית של 0 °.ההגדרות של חטא וקוס עם מעגל היחידה
ההגדרות הרגילות של חטא, cos ושזוף שניתנות לתלמידים מתייחסות למשולשים. הם קובעים:
\ sin θ = \ frac {\ text {מול}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {סמוך}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
ה"הפך "מתייחס לאורך הצד של המשולש שמול הזווית," הסמוך "מתייחס ל אורך הצד לצד הזווית ו"היפוטנוזה "מתייחס לאורך הצד האלכסוני של משולש.
תאר לעצמך ליצור משולש כך שההיפוטנוזה תמיד היה רדיוס מעגל היחידה, עם פינה אחת בקצה המעגל ואחת במרכזו. המשמעות היא שהיפוטנוזה = 1 במשוואות שלמעלה, כך שהשניים הראשונים הופכים להיות:
\ sin θ = \ frac {\ text {מול}} {1} = \ text {מול} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {סמוך}} {1} = \ text {סמוך} \\
אם אתה עושה את הזווית המדוברת זו שבמרכז המעגל, ההפך הוא רק הy-תאם והצמוד הוא רק האיקס-תאום הנקודה על המעגל הנוגע למשולש. במילים אחרות, החטא מחזיר אתy-תאם על מעגל היחידה (באמצעות קואורדינטות שמתחילות במרכז) לזווית נתונה ו- cos מחזירה אתאיקס-לְתַאֵם. זו הסיבה ש- cos (0) = 1 ו- sin (0) = 0, מכיוון שבשלב זה אלה הקואורדינטות. כמו כן, cos (90) = 0 וחטא (90) = 1, כי זו הנקודה עםאיקס= 0 וy= 1. בצורה משוואתית:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
קל להבין גם זוויות שליליות על בסיס זה. הזוויות השליליות (נמדדות בכיוון השעון מנקודת ההתחלה) זהותאיקסלתאם כזווית החיובית המתאימה, כך:
\ cos -θ = \ cos θ
אולם, הyמתגי תיאום, כלומר
\ sin -θ = - \ sin θ
הגדרת טאן עם מעגל היחידה
הגדרת השיזוף שניתנה לעיל היא:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
אבל עם ההגדרות של מעגל היחידות של חטא ו- cos, אתה יכול לראות שזה שווה ערך ל:
\ tan θ = \ frac {\ text {מול}} {\ text {סמוך}}
או לחשוב במונחים של קואורדינטות:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
זה מסביר מדוע השיזוף אינו מוגדר ל 90 ° או -270 ° ו- 270 ° או -90 ° (איפהאיקס= 0), מכיוון שאי אפשר לחלק באפס.
גרפים פונקציות טריגונומטריות
תרשים חטא או cos הופך קל יותר כשחושבים על מעגל היחידה. האיקסהקואורדינטות משתנות בצורה חלקה כשאתה נע סביב המעגל, מתחיל ב -1 ויורד למינימום -1 ב -180 מעלות ואז מגדיל באותה צורה. פונקציית החטא עושה את אותו הדבר, אך היא עולה לראשונה לערך מקסימלי של 1 ב -90 מעלות, לפני שתעקוב אחר אותה תבנית. שתי הפונקציות אמורות להיות 90 ° מחוץ ל"פאזה "זו עם זו.
גרף שיזוף דורש חלוקהyעל ידיאיקסוכך מורכב יותר לגרף, ויש לו גם נקודות בהן הוא לא מוגדר.