כפל ותוספת הם פונקציות מתמטיות קשורות. הוספת אותו מספר מספר פעמים תניב את אותה תוצאה כמו הכפלת המספר במספר הפעמים שחזרו על התוספת, כך ש -2 + 2 + 2 = 2 × 3 = 6. קשר זה מודגם עוד יותר על ידי קווי הדמיון בין המאפיינים האסוציאטיביים והקומוטטיביים של הכפל לבין המאפיינים האסוציאטיביים והקומוטטיביים של תוספת. מאפיינים אלה מתייחסים לכך שסדר המספרים במספר תוספת או כפל אינו משנה את תוצאת המשוואה. חשוב לציין כי מאפיינים אלה חלים רק על חיבור וכפל ולא על חיסור או חלוקה, כאשר שינוי סדר המספרים במשוואה ישנה את תוֹצָאָה.
נכס קומוטטיבי של כפל
כאשר מכפילים שני מספרים, היפוך סדר המספרים במשוואה גורם לאותו מוצר. זה ידוע בתור המאפיין הקומוטטיבי של הכפל והוא דומה למדי לתכונה האסוציאטיבית של תוספת. לדוגמא, הכפלת שלוש בשש שווה שש פעמים שלוש (3 × 6 = 6 × 3 = 18). הביטוי במונחים אלגבריים, המאפיין הקומוטטיבי הוא:
a × b = b × a
או בפשטות
ab = ba
נכס אסוציאטיבי של כפל
ניתן לראות את המאפיין האסוציאטיבי של הכפל כהרחבה של המאפיין הקומוטטיבי של הכפל ומקביל לתכונה האסוציאטיבית של התוספת. כאשר מכפילים יותר משני מספרים, שינוי סדר הכפלת המספרים או אופן קבוצתם גורם לאותו מוצר. לדוגמא, (3 × 4) × 2 = 12 × 2 = 24. שינוי סדר הכפל ל- 3 × (4 × 2) מייצר 3 × 8 = 24. במונחים אלגבריים, ניתן לתאר את המאפיין האסוציאטיבי כ:
(a + b) + c = a + (b + c)
נכס קומוטטיבי של תוספת
יכול להיות מועיל לזכור את המאפיינים האסוציאטיביים והקומוטטיביים של תוספת בהתייחס לתכונות האסוציאטיביות והקומוטטיביות של הכפל. על פי המאפיין הקומוטטיבי של תוספת, שני מספרים שנוספו יחד גורמים לאותו סכום בין אם הם מתווספים קדימה או אחורה. במילים אחרות, שתיים פלוס שש שוות שמונה ושש פלוס שתיים שוות גם לשמונה (2 + 6 = 6 + 2 = 8) ומזכיר את המאפיין הקומוטטיבי של הכפל. שוב, זה עשוי לבוא לידי ביטוי באופן אלגברי כ
a + b = b + a
נכס אסוציאטיבי של תוספת
במאפיין האסוציאטיבי של תוספת, הסדר בו מתווספות יותר משלוש קבוצות מספרים יחד אינו משנה את סכום המספרים. לפיכך, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6. בדיוק כמו במאפיין האסוציאטיבי של הכפל, שינוי הסדר לא משנה את התוצאה מאחר 1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6. מבחינה אלגברית, המאפיין האסוציאטיבי של תוספת הוא
(a + b) + c = a + (b + c)