למטוטלות תכונות מעניינות שהפיזיקאים משתמשים בהן לתיאור עצמים אחרים. לדוגמה, מסלול פלנטרי עוקב אחר דפוס דומה והתנודדות על סט נדנדה עשויה להרגיש כאילו אתה על מטוטלת. מאפיינים אלה מגיעים משורה של חוקים השולטים בתנועת המטוטלת. על ידי לימוד חוקים אלה, אתה יכול להתחיל להבין כמה מעיקרי היסוד של הפיזיקה ושל התנועה בכלל.
ניתן לתאר את תנועת המטוטלת באמצעות
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
בוθמייצג את הזווית בין המחרוזת לקו האנכי במורד המרכז,tמייצג זמן, וטהוא התקופה, הזמן הדרוש להתרחשות מחזור שלם אחד של המטוטלת (נמדד על ידי1 / ו), של הצעה למטוטלת.
תנועה הרמונית פשוטה
תנועה הרמונית פשוטה, או תנועה המתארת כיצד מהירות האובייקט תנודה פרופורציונאלית לכמות העקירה משיווי המשקל, יכולה לשמש לתיאור משוואת המטוטלת. תנופה של המטוטלת נשמרת בתנועה על ידי כוח זה הפועל עליו בזמן שהוא נע קדימה ואחורה.
•••סייד חוסיין את'ר
החוקים השולטים בתנועת המטוטלת הובילו לגילוי נכס חשוב. פיזיקאים מפרקים כוחות למרכיב אנכי ואופקי. בתנועת מטוטלת,שלושה כוחות עובדים ישירות על המטוטלת: מסת הבוב, כוח המשיכה והמתח בחוט. מסה וכוח המשיכה פועלים אנכית כלפי מטה. מכיוון שהמטוטלת לא נעה מעלה או מטה, המרכיב האנכי של מתח המיתרים מבטל את המסה ואת כוח המשיכה.
זה מראה שלמסה של מטוטלת אין שום רלוונטיות לתנועתה, אך מתח המיתרים האופקי כן. תנועה הרמונית פשוטה דומה לתנועה מעגלית. אתה יכול לתאר אובייקט שנע במסלול מעגלי כפי שמוצג באיור לעיל על ידי קביעת הזווית והרדיוס שהוא לוקח במסלול המעגלי המתאים לו. ואז, באמצעות הטריגונומטריה של המשולש הימני בין מרכז המעגל, מיקום האובייקט והתזוזה בשני הכיוונים x ו- y, תוכלו למצוא משוואותx = rsin (θ)וy = rcos (θ).
המשוואה החד ממדית של אובייקט בתנועה הרמונית פשוטה ניתנת על ידיx = r cos (ωt).אתה יכול להחליף עודאלרבואהאם האמפליטודה, התזוזה המרבית ממיקומו הראשוני של האובייקט.
המהירות הזוויתיתωביחס לזמןtלזוויות אלהθניתן ע"יθ = ωt. אם תחליף את המשוואה המתייחסת למהירות זוויתית לתדרf, ω = 2πf, אתה יכול לדמיין תנועה מעגלית זו, ואז, כחלק מטוטלת המתנדנדת קדימה ואחורה, אז משוואת התנועה ההרמונית הפשוטה המתקבלת היא
x = A \ cos {2 \ pi ft}
חוקי מטוטלת פשוטה
•••סייד חוסיין את'ר
מטוטלות, כמו המוני מעיין, הן דוגמאות למתנדים הרמוניים פשוטים: יש כוח משחזר שגדל בהתאם למידת העקירה של המטוטלת, וניתן לתאר את תנועתם באמצעות ה-משוואת מתנדים הרמוניים פשוטים
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {\ frac {2 \ pi t} {T}}
בוθמייצג את הזווית בין המחרוזת לקו האנכי במורד המרכז,tמייצג זמן וטהאם הפרק זמן, הזמן הדרוש להתרחשות מחזור אחד שלם של תנועת המטוטלת (נמדד על ידי1 / ו), של הצעה למטוטלת.
θמקסימוםהיא דרך נוספת להגדיר את המקסימום שהזווית מתנודדת במהלך תנועת המטוטלת והיא דרך נוספת להגדרת משרעת המטוטלת. שלב זה מוסבר להלן בסעיף "הגדרת מטוטלת פשוטה".
משמעות נוספת לחוקי מטוטלת פשוטה היא שתקופת התנודה באורך קבוע אינה תלויה בגודל, צורה, מסה וחומר של האובייקט בקצה המיתר. זה מוצג בבירור באמצעות גזירת המטוטלת הפשוטה והמשוואות הנובעות מכך.
נגזרת מטוטלת פשוטה
אתה יכול לקבוע את המשוואה עבור aמטוטלת פשוטה, ההגדרה שתלויה במתנד הרמוני פשוט, מסדרת צעדים המתחילים במשוואת התנועה של המטוטלת. מכיוון שכוח המשיכה של המטוטלת שווה לכוח תנועת המטוטלת, תוכלו להגדיר אותם שווים זה לזה באמצעות החוק השני של ניוטון עם מסת מטוטלת.M, אורך המחרוזתל, זוויתθ,האצת הכבידהזומרווח זמןt.
•••סייד חוסיין את'ר
קבעת את החוק השני של ניוטון שווה לרגע האינרציהאני = מר2במשך מסה כלשהיMורדיוס התנועה המעגלית (אורך המיתר במקרה זה)רפעמים התאוצה הזוויתיתα.
- ΣF = Ma: החוק השני של ניוטון קובע כי הכוח הנקיΣFעל אובייקט שווה למסה של האובייקט מוכפל בתאוצה.
- Ma = I α: זה מאפשר לך לקבוע את כוח האצה הכבידה (-Mg sin (θ) L)שווה לכוח הסיבוב
- -Mg sin (θ) L = אני α: ניתן להשיג את הכיוון של הכוח האנכי בגלל כוח הכבידה (-Mg) על ידי חישוב התאוצה כ-חטא (θ) לאםsin (θ) = d / Lלתזוזה אופקית כלשהידוזוויתθ להסביר את הכיוון.
- -Mg sin (θ) L = ML2 α: אתה מחליף את המשוואה לרגע האינרציה של גוף מסתובב באמצעות אורך המיתר L כרדיוס.
- -Mg sin (θ) L = -ML2ד2θ / dt: חשוב על התאוצה הזוויתית על ידי החלפת הנגזרת השנייה של הזווית ביחס לזמןα.שלב זה מחייב משוואות דיפרנציאליות.
- ד2θ / dt2 + (g / L) sinθ = 0: ניתן להשיג זאת באמצעות סידור מחדש של שני צידי המשוואה
- ד2θ / dt2 + (g / L) θ = 0: אתה יכול לערוך קירובחטא (θ)כפי שθלצרכי מטוטלת פשוטה בזוויות תנודה קטנות מאוד
- θ (t) = θמקסימוםcos (t (L / g)2): למשוואת התנועה יש פיתרון זה. אתה יכול לאמת את זה על ידי לקיחת הנגזרת השנייה של משוואה זו ולעבוד על שלב 7.
ישנן דרכים אחרות להכין גזירת מטוטלת פשוטה. להבין את המשמעות שמאחורי כל שלב כדי לראות איך הם קשורים. תוכלו לתאר תנועת מטוטלת פשוטה בעזרת תיאוריות אלה, אך עליכם לקחת בחשבון גם גורמים אחרים העשויים להשפיע על תורת המטוטלת הפשוטה.
גורמים המשפיעים על תנועת המטוטלת
אם אתה משווה את התוצאה של נגזרת זו
\ theta (t) = \ theta_ {max} \ cos {t \ bigg (\ frac {L} {g} \ bigg) ^ 2}
למשוואה של מתנד הרמוני פשוטבכאשר אתה מגדיר אותם שווים זה לזה, אתה יכול להפיק משוואה לתקופה T:
T = 2 \ pi \ sqrt {\ frac {g} {L}}
שימו לב שמשוואה זו אינה תלויה במסהMשל המטוטלת, המשרעתθמקסימום, וגם לא בזמןt. פירוש הדבר שהתקופה אינה תלויה במסה, במשרעת ובזמן, אך במקום זאת, מסתמכת על אורך המחרוזת. זה נותן לך דרך תמציתית לבטא תנועת מטוטלת.
אורך דוגמת המטוטלת
בעזרת המשוואה לתקופה, אתה יכול לסדר מחדש את המשוואה לקבלת
L = \ frac {(T / 2 \ pi) ^ 2} {g}
ולהחליף 1 שניה לטו9.8 מ 'לשנייה2לזלהשיגL =0.0025 מ '. זכור משוואות אלה של תורת המטוטלת הפשוטה מניחות שאורך המיתר הוא ללא חיכוך וללא מסה. כדי לקחת בחשבון את הגורמים הללו, נדרשים משוואות מורכבות יותר.
הגדרת מטוטלת פשוטה
אתה יכול למשוך את זווית המטוטלת לאחורθלתת לו להתנדנד קדימה ואחורה כדי לראות את זה מתנודד בדיוק כמו מעיין. למטוטלת פשוטה תוכלו לתאר אותה באמצעות משוואות תנועה של מתנד הרמוני פשוט. משוואת התנועה עובדת היטב עבור ערכים קטנים יותר של זווית ו-אמפליטודה, הזווית המרבית, מכיוון שמודל המטוטלת הפשוט מסתמך על הקירוב שחטא (θ) ≈ θלזווית מטוטלת כלשהיθ.מכיוון שזוויות הערכים והמשרעות גדלות מכ -20 מעלות, קירוב זה לא עובד כל כך טוב.
נסה זאת בעצמך. מטוטלת המתנדנדת עם זווית התחלתית גדולהθלא יתנודד באופן קבוע כדי לאפשר לך להשתמש במתנד הרמוני פשוט לתיאורו. בזווית התחלתית קטנה יותרθ, המטוטלת מתקרבת לתנועה קבועה ותנודה הרבה יותר בקלות. מכיוון שלמסת המטוטלת אין כל השפעה על תנועתה, הפיזיקאים הוכיחו כי לכל המטוטלות יש אותה תקופה לתנודה זוויות - הזווית שבין מרכז המטוטלת בנקודה הגבוהה ביותר למרכז המטוטלת במצבה העצור - פחות מ -20 מעלות.
לכל המטרה המעשית של מטוטלת בתנועה, המטוטלת תאט בסופו של דבר ותיעצר בגלל חיכוך בין המיתר לנקודה המהודקת שלו מעל, כמו גם בגלל התנגדות אוויר בין המטוטלת לאוויר מסביב לזה.
לדוגמאות מעשיות לתנועת המטוטלת, התקופה והמהירות יהיו תלויים בסוג החומר המשמש שיגרום לדוגמאות אלה של חיכוך ועמידות באוויר. אם אתה מבצע חישובים על התנהגות תנודתית של המטוטלת מבלי להתחשב בכוחות אלה, אז זה יהווה פנדולה המתנדנדת לאין ערוך.
חוקי ניוטון במטוטלות
החוק הראשון של ניוטון מגדיר את מהירות האובייקטים בתגובה לכוחות. החוק קובע שאם אובייקט נע במהירות ספציפית ובקו ישר, הוא ימשיך לנוע באותה מהירות ובקו ישר, לאינסוף, כל עוד שום כוח אחר לא פועל עליו. דמיין שאתה זורק כדור ישר קדימה - הכדור היה מסתובב סביב כדור הארץ שוב ושוב אם התנגדות האוויר וכוח המשיכה לא היו פועלים עליו. חוק זה מראה שמאחר ומטוטלת נעה זו לצד זו ולא מעלה ומטה אין לה כוחות מעלה ומטה הפועלים עליה.
החוק השני של ניוטון משמש לקביעת הכוח הנקי על המטוטלת על ידי קביעת כוח הכבידה שווה לכוח המיתר המושך חזרה מעלה אל המטוטלת. הגדרת משוואות אלה שוות זו לזו מאפשרת לך להפיק את משוואות התנועה של המטוטלת.
החוק השלישי של ניוטון קובע כי לכל פעולה יש תגובה באותה כוח. חוק זה עובד עם החוק הראשון שמראה שלמרות שהמסה וכוח המשיכה מבטלים את המרכיב האנכי של וקטור מתח המיתרים, שום דבר לא מבטל את המרכיב האופקי. חוק זה מראה כי הכוחות הפועלים על מטוטלת יכולים לבטל זה את זה.
פיסיקאים משתמשים בחוקים הראשונים, השנייה והשלישית של ניוטון כדי להוכיח שמתח המיתרים האופקי מניע את המטוטלת ללא התחשבות במסה או בכוח המשיכה. החוקים של מטוטלת פשוטה עוקבים אחר רעיונות שלושת חוקי התנועה של ניוטון.
