Les racines d'un polynôme sont aussi appelées ses zéros, car les racines sont lesXvaleurs auxquelles la fonction est égale à zéro. Lorsqu'il s'agit de trouver les racines, vous disposez de plusieurs techniques; la factorisation est la méthode que vous utiliserez le plus fréquemment, bien que la représentation graphique puisse également être utile.
Combien de racines ?
Examinez le terme de degré le plus élevé du polynôme, c'est-à-dire le terme ayant l'exposant le plus élevé. Cet exposant est le nombre de racines que le polynôme aura. Donc, si l'exposant le plus élevé de votre polynôme est 2, il aura deux racines; si l'exposant le plus élevé est 3, il aura trois racines; etc.
Mises en garde
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Il y a un hic: les racines d'un polynôme peuvent être réelles ou imaginaires. Les racines "réelles" sont des membres de l'ensemble connu sous le nom de nombres réels, qui à ce stade de votre carrière en mathématiques sont tous les nombres avec lesquels vous êtes habitué. Maîtriser les nombres imaginaires est un sujet totalement différent, donc pour l'instant, rappelez-vous simplement trois choses :
- Des racines "imaginaires" apparaissent lorsque vous avez la racine carrée d'un nombre négatif. Par exemple, (-9).
- Les racines imaginaires viennent toujours par paires.
- Les racines d'un polynôme peuvent être réelles ou imaginaires. Donc, si vous avez un polynôme du 5ème degré, il peut avoir cinq racines réelles, il peut avoir trois racines réelles et deux racines imaginaires, et ainsi de suite.
Trouver des racines par factorisation: exemple 1
Le moyen le plus polyvalent de trouver des racines consiste à factoriser votre polynôme autant que possible, puis à définir chaque terme égal à zéro. Cela a beaucoup plus de sens une fois que vous avez suivi quelques exemples. Considérons le polynôme simpleX2 – 4X:
Un bref examen montre que vous pouvez prendre en compteXsur les deux termes du polynôme, ce qui vous donne :
x (x - 4)
Mettez chaque terme à zéro. Cela signifie résoudre deux équations :
x = 0
est le premier terme mis à zéro, et
x - 4 = 0
est le deuxième terme mis à zéro.
Vous avez déjà la solution du premier terme. SiX= 0, alors l'expression entière est égale à zéro. DoncX= 0 est l'une des racines, ou zéros, du polynôme.
Maintenant, considérons le deuxième terme et résolvez pourX. Si vous ajoutez 4 des deux côtés, vous aurez :
x - 4 + 4 = 0 + 4
qui se simplifie en :
x = 4
Donc siX= 4 alors le deuxième facteur est égal à zéro, ce qui signifie que le polynôme entier est également égal à zéro.
Parce que le polynôme d'origine était du second degré (l'exposant le plus élevé était deux), vous savez qu'il n'y a que deux racines possibles pour ce polynôme. Vous les avez déjà trouvés tous les deux, il vous suffit donc de les lister :
x = 0, x = 4
Trouver des racines par factorisation: exemple 2
Voici un autre exemple de la façon de trouver des racines en factorisant, en utilisant un peu d'algèbre en cours de route. Considérons le polynômeX4 – 16. Un rapide coup d'œil à ses exposants vous montre qu'il devrait y avoir quatre racines pour ce polynôme; maintenant il est temps de les trouver.
Avez-vous remarqué que ce polynôme peut être réécrit comme la différence de carrés? Alors au lieu deX4 – 16, vous avez :
(x^2)^2 - 4^2
Qui, en utilisant la formule de la différence des carrés, prend en compte ce qui suit :
(x^2 - 4)(x^2 + 4)
Le premier terme est, encore une fois, une différence de carrés. Ainsi, bien que vous ne puissiez plus factoriser le terme de droite, vous pouvez encore factoriser le terme de gauche :
(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Il est maintenant temps de trouver les zéros. Il devient vite évident que siX= 2, le premier facteur sera égal à zéro, et donc l'expression entière sera égale à zéro.
De même, siX= -2, le deuxième facteur sera égal à zéro et donc l'expression entière le sera aussi.
DoncX= 2 etX= −2 sont tous deux des zéros, ou racines, de ce polynôme.
Mais qu'en est-il de ce dernier mandat? Parce qu'il a un exposant "2", il devrait avoir deux racines. Mais vous ne pouvez pas factoriser cette expression en utilisant les nombres réels auxquels vous êtes habitué. Vous devrez utiliser un concept mathématique très avancé appelé nombres imaginaires ou, si vous préférez, des nombres complexes. C'est bien au-delà de la portée de votre pratique mathématique actuelle, donc pour l'instant, il suffit de noter que vous avez deux racines réelles (2 et -2) et deux racines imaginaires que vous laisserez indéfinies.
Trouver des racines par graphique
Vous pouvez également trouver, ou au moins estimer, les racines en graphique. Chaque racine représente un point où le graphique de la fonction croise leXaxe. Donc, si vous tracez la ligne et notez ensuite leXcoordonnées où la ligne croise leXaxe, vous pouvez insérer l'estimationXvaleurs de ces points dans votre équation et vérifiez si vous les avez correctes.
Considérez le premier exemple que vous avez travaillé, pour le polynômeX2 – 4X. Si vous le dessinez soigneusement, vous verrez que la ligne traverse leXaxe àX= 0 etX= 4. Si vous saisissez chacune de ces valeurs dans l'équation d'origine, vous obtiendrez :
0^2 - 4(0) = 0
doncX= 0 était un zéro ou une racine valide pour ce polynôme.
4^2 - 4(4) = 0
doncX= 4 est également un zéro ou une racine valide pour ce polynôme. Et parce que le polynôme était de degré 2, vous savez que vous pouvez arrêter de chercher après avoir trouvé deux racines.