Les fonctions mathématiques sont des outils puissants pour les affaires, l'ingénierie et les sciences, car elles peuvent agir comme des modèles miniatures de phénomènes du monde réel. Pour comprendre les fonctions et les relations, vous devez creuser un peu dans des concepts tels que les ensembles, les paires ordonnées et les relations. Une fonction est un type particulier de relation qui n'a qu'un seulouivaleur pour une donnéeXvaleur. D'autres types de relations existent qui ressemblent à des fonctions mais ne répondent pas à la définition stricte d'une.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Une relation est un ensemble de nombres organisés en paires. Une fonction est un type particulier de relation qui n'a qu'un seulouivaleur pour une donnéeXvaleur.
Ensembles, paires ordonnées et relations
Pour décrire les relations et les fonctions, il est utile de discuter d'abord des ensembles et des paires ordonnées. En bref, un ensemble de nombres est une collection d'entre eux, généralement contenus dans des accolades, telles que {15,1, 2/3} ou {0,.22}. En règle générale, vous définissez un ensemble avec une règle, telle que tous les nombres pairs entre 2 et 10, inclus: {2,4,6,8,10}.
Un ensemble peut avoir n'importe quel nombre d'éléments, ou aucun, c'est-à-dire l'ensemble nul {}. Une paire ordonnée est un groupe de deux nombres entre parenthèses, tels que (0,1) et (45, −2). Pour plus de commodité, vous pouvez appeler la première valeur d'une paire ordonnée leXvaleur, et la seconde laouivaleur. Une relation organise des paires ordonnées en un ensemble. Par exemple, l'ensemble {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} est une relation. Vous pouvez tracer leXetouivaleurs d'une relation sur un graphique en utilisant leXetouihaches.
Relations et fonctions
Une fonction est une relation dans laquelle toute donnéeXla valeur n'a qu'un correspondantouivaleur. Vous pourriez penser qu'avec des paires ordonnées, chaqueXn'en a qu'unouivaleur quand même. Cependant, dans l'exemple d'une relation donnée ci-dessus, notez que laXles valeurs 1 et 2 ont chacune deux correspondantsouivaleurs, 0 et 5, et 10 et 15, respectivement. Cette relation n'est pas une fonction. La règle donne à la relation de fonction un caractère définitif qui n'existe pas autrement, en termes deXvaleurs. Vous pourriez demander, quandXest 1, quel est leouivaleur? Pour la relation ci-dessus, la question n'a pas de réponse définitive; cela peut être 0, 5 ou les deux.
Examinons maintenant un exemple de relation qui est une vraie fonction: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. leXles valeurs ne sont répétées nulle part. Comme autre exemple, regardez {( -1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Quelqueouiles valeurs sont répétées, mais cela ne viole pas la règle. Vous pouvez toujours dire que lorsque la valeur deXest 0,ouiest définitivement 5.
Fonctions graphiques: test de ligne verticale
Vous pouvez savoir si une relation est une fonction en traçant les nombres sur un graphique et en appliquant le test de la ligne verticale. Si aucune ligne verticale passant par le graphique ne le coupe en plus d'un point, la relation est une fonction.
Fonctions comme équations
Écrire un ensemble de paires ordonnées en tant que fonction constitue un exemple simple, mais devient rapidement fastidieux lorsque vous avez plus que quelques nombres. Pour résoudre ce problème, les mathématiciens écrivent des fonctions en termes d'équations, telles que
y = x^2 - 2x + 3
En utilisant cette équation compacte, vous pouvez générer autant de paires ordonnées que vous le souhaitez: Insérez différentes valeurs pourX, faites le calcul, et sortez votreouivaleurs.
Utilisations réelles des fonctions
De nombreuses fonctions servent de modèles mathématiques, permettant aux gens de saisir les détails de phénomènes qui resteraient autrement mystérieux. Pour prendre un exemple simple, l'équation de distance pour un objet en chute est
d = \frac{1}{2} g t^2
oùtest le temps en secondes, etgest l'accélération due à la pesanteur. Branchez 9,8 pour la gravité terrestre en mètres par seconde au carré, et vous pouvez trouver la distance à laquelle un objet est tombé à n'importe quelle valeur de temps. Notez que, pour toute leur utilité, les modèles ont des limites. L'équation de l'exemple fonctionne bien pour laisser tomber une bille d'acier mais pas une plume car l'air ralentit la plume.