La factorisation de polynômes avec des coefficients fractionnaires est plus compliquée que la factorisation avec des coefficients de nombres entiers, mais vous pouvez transformer facilement chaque coefficient fractionnaire de votre polynôme en un coefficient de nombre entier sans changer l'ensemble polynôme. Trouvez simplement un dénominateur commun pour toutes les fractions, puis multipliez le polynôme entier par ce nombre. Cela vous permettra d'annuler le dénominateur dans chaque fraction, ne laissant que des coefficients de nombres entiers. Vous pouvez ensuite le factoriser en utilisant les procédures normales de factorisation.
Trouvez la factorisation première du dénominateur de chacun de vos coefficients fractionnaires. La factorisation première d'un nombre est l'ensemble unique de nombres premiers qui, multipliés ensemble, sont égaux au nombre. Par exemple, la factorisation première de 24 est 2_2_2_3 (pas 2_3_4 ou 8_3 car 4 et 8 ne sont pas premiers). Un moyen simple de trouver la factorisation des nombres premiers consiste à diviser à plusieurs reprises le nombre en facteurs jusqu'à ce qu'il ne vous reste plus que des nombres premiers: 24 = 4_6 = (2_2) * (2_3) = 2_2_2_3.
Dessinez un diagramme de Venn représentant chacun de vos dénominateurs. Par exemple, si vous aviez trois dénominateurs, vous traceriez trois cercles, chaque cercle légèrement chevauchant l'autre et les trois chevauchant au centre (voir Ressources: Diagramme de Venn pour un photo). Étiquetez les cercles « 1 », « 2 », etc. en fonction de l'ordre des fractions dans le polynôme.
Placez les facteurs premiers dans le diagramme de Venn selon les dénominateurs qui les ont. Par exemple, si vos trois dénominateurs sont 8, 30 et 10, le premier a une factorisation première de (2_2_2), le second a (2_3_5) et le troisième a (2*5). Vous mettriez "2" au centre, car les trois dénominateurs partagent le facteur 2. Vous mettriez un "5" dans le chevauchement entre le cercle 2 et le cercle 3 parce que les deuxième et troisième dénominateurs partagent ce facteur. Enfin, vous mettriez deux fois "2" dans la zone du cercle 1 sans chevauchement et un "3" dans la zone du cercle 2 sans chevauchement, car ces facteurs ne sont partagés par aucun autre dénominateur.
Multipliez tous les nombres de votre diagramme de Venn pour trouver le plus petit dénominateur commun de vos coefficients fractionnaires. Dans l'exemple ci-dessus, vous multiplieriez 2 fois 5 fois 2 fois 2 fois 3 pour obtenir 120, qui est le plus petit dénominateur commun de 8, 30 et 10.
Multipliez le polynôme entier par le dénominateur commun, en le distribuant à chaque coefficient fractionnaire. Vous pourrez annuler le dénominateur dans chaque coefficient, ne laissant que des nombres entiers. Par exemple: 120(1/8_x^2 + 7/30_x + 3/10) = 15x^2 + 28x + 36.
Écrivez deux ensembles de parenthèses, le premier terme des deux ensembles étant un facteur du coefficient dominant. Par exemple, 15x^2 facteurs à 3x et 5x: (3x...)(5x...).
Trouvez deux nombres qui se multiplient ensemble pour égaler votre constante du polynôme. Par exemple, 6 fois 6 ou 9 fois 4 égale 36. Branchez-les entre parenthèses et voyez s'ils fonctionnent: (3x + 6) (5x +6); (3x + 9) (5x + 4); (3x + 4) (5x + 9). Vérifiez votre résultat en utilisant FOIL pour ré-étendre votre polynôme: (3x + 4)(5x + 9) = 15x^2 + 27x + 20x +36 = 15x^2+ 47x + 36, ce qui n'est pas le même que notre original polynôme.