Un radical est fondamentalement un exposant fractionnaire et est désigné par le signe radical (√). L'expressionX2 signifie multiplierXpar lui-même (X × X), mais quand vous voyez l'expression √X, vous recherchez un nombre qui, multiplié par lui-même, est égalX. De même, 3√Xdésigne un nombre qui, multiplié par lui-mêmeà deux reprises,équivaut àX, etc. Tout comme vous pouvez multiplier des nombres avec le même exposant, vous pouvez faire de même avec des radicaux, tant que les exposants devant les signes radicaux sont les mêmes. Par exemple, vous pouvez multiplier (√X × √X) pour obtenir (X2), ce qui équivaut justeX, et (3√X × 3√X) pour obtenir 3√(X2). Cependant, l'expression (√X × 3√X) ne peut pas être simplifié davantage.
Astuce n°1: N'oubliez pas le « Produit élevé à une règle de puissance »
Lors de la multiplication des exposants, ce qui suit est vrai :
(a)^x × (b)^x = (a × b)^x
La même règle s'applique lors de la multiplication des radicaux. Pour comprendre pourquoi, rappelez-vous que vous pouvez exprimer un radical sous la forme d'un exposant fractionnaire. Par example,
\sqrt{a} = un^{1/2}
ou, en général,
\sqrt[x]{a} = un^{1/x}
Lorsque vous multipliez deux nombres avec des exposants fractionnaires, vous pouvez les traiter de la même manière que des nombres avec des exposants entiers, à condition que les exposants soient les mêmes. En général:
\sqrt[x]{a} × \sqrt[x]{b}= \sqrt[x]{a × b}
Exemple:Multiplier √25 × √400
\sqrt{ 25} × \sqrt{400} = \sqrt{25 × 400} = \sqrt{10 000}
Astuce #2: Simplifiez les radicaux avant de les multiplier
Dans l'exemple ci-dessus, vous pouvez rapidement voir que
\sqrt{ 25} = \sqrt{5^2}=5
et cela
\sqrt{400} = \sqrt{20^2}=20
et que l'expression se simplifie à 100. C'est la même réponse que vous obtenez lorsque vous recherchez la racine carrée de 10 000.
Dans de nombreux cas, comme dans l'exemple ci-dessus, il est plus facile de simplifier les nombres sous les signes radicaux avant d'effectuer la multiplication. Si le radical est une racine carrée, vous pouvez supprimer les nombres et les variables qui se répètent par paires sous le radical. Si vous multipliez les racines cubiques, vous pouvez supprimer les nombres et les variables qui se répètent par unités de trois. Pour supprimer un nombre d'un quatrième signe racine, le nombre doit être répété quatre fois et ainsi de suite.
Exemples
1.Multiplier√18 × √16
Factorisez les nombres sous les signes radicaux et placez tous ceux qui apparaissent deux fois en dehors du radical.
\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = \sqrt{3 × 3} × 2 = 3\sqrt{2} \\ \sqrt{16} = \sqrt{4 × 4} = 4 \\ \ ,\\ \implique \sqrt{18} × \sqrt{16} = 3 \sqrt{2} × 4 = 12 \sqrt{2}
2. Multiplier
\sqrt[3]{32x^2 y^4} × \sqrt[3]{50x^3y}
Pour simplifier les racines cubiques, recherchez les facteurs à l'intérieur des signes radicaux qui se produisent en unités de trois :
\sqrt[3]{32x^2y^4}= \sqrt[3]{(8 × 4)x^2y^4} = \sqrt[3]{[(2 × 2 × 2) × 4]x^ 2 (y × y × y) y} = 2y\sqrt[3]{4x^2y} \\ \,\\ \sqrt[3]{50 x^3y} = \sqrt[3]{50 (x × x × x) y} = x\sqrt[3]{50y}
La multiplication devient
2y\sqrt[3]{4x^2y} × x\sqrt[3]{50y}
En multipliant les termes similaires et en appliquant la règle du produit élevé au pouvoir, vous obtenez :
2xy × \sqrt[3]{200x^2y^2}