L'équation d'un plan dans l'espace à trois dimensions peut être écrite en notation algébrique comme ax + par + cz = d, où au moins l'un des les constantes de nombre réel "a", "b" et "c" ne doivent pas être nulles, et "x", "y" et "z" représentent les axes du tridimensionnel avion. Si trois points sont donnés, vous pouvez déterminer le plan à l'aide de produits vectoriels vectoriels. Un vecteur est une ligne dans l'espace. Un produit vectoriel est la multiplication de deux vecteurs.
Obtenez les trois points sur l'avion. Étiquetez-les « A », « B » et « C ». Par exemple, supposons que ces points sont A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); et C = (1, 3, 4).
Trouvez deux vecteurs différents sur le plan. Dans l'exemple, choisissez les vecteurs AB et AC. Le vecteur AB va du point A au point B et le vecteur AC va du point A au point C. Soustrayez donc chaque coordonnée du point-A de chaque coordonnée du point-B pour obtenir le vecteur AB: (-2, 3, 1). De même, le vecteur AC est le point-C moins le point-A, ou (-2, 2, 3).
Calculez le produit vectoriel des deux vecteurs pour obtenir un nouveau vecteur, qui est normal (ou perpendiculaire ou orthogonal) à chacun des deux vecteurs et également au plan. Le produit vectoriel de deux vecteurs, (a1, a2, a3) et (b1, b2, b3), est donné par N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). Dans l'exemple, le produit vectoriel N de AB et AC est i[(3 x 3) - (1 x 2)] + j[(1 x -2) - (-2 x 3)] + k[( -2 x 2) - (3x - 2)], ce qui se simplifie en N = 7i + 4j + 2k. Notez que "i", "j" et "k" sont utilisés pour représenter les coordonnées vectorielles.
Déduire l'équation du plan. L'équation du plan est Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, où (a1, a2, a3) est un point quelconque du plan et (Ni, Nj, Nk ) est le vecteur normal, N. Dans l'exemple, en utilisant le point C, qui est (1, 3, 4), l'équation du plan est 7(x - 1) + 4(y - 3) + 2(z - 4) = 0, ce qui se simplifie en 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, ou 7x + 4y + 2z = 27.
Vérifiez votre réponse. Remplacez les points d'origine pour voir s'ils satisfont à l'équation du plan. Pour conclure l'exemple, si vous substituez l'un des trois points, vous verrez que l'équation du plan est bien satisfaite.
Conseils
Voir Ressources pour des conseils sur la façon d'utiliser des systèmes de trois équations simultanées pour trouver l'équation d'un avion.