Il est parfois nécessaire de trouver un vecteur non nul qui, multiplié par une matrice carrée, nous rendra un multiple du vecteur. Ce vecteur non nul est appelé un "vecteur propre". Les vecteurs propres intéressent non seulement les mathématiciens, mais aussi d'autres dans des professions telles que la physique et l'ingénierie. Pour les calculer, vous aurez besoin de comprendre l'algèbre matricielle et les déterminants.
Apprenez et comprenez la définition d'un "vecteur propre". On le trouve pour une matrice carrée n x n A et aussi un valeur propre scalaire appelée "lambda". Lambda est représenté par la lettre grecque, mais ici nous l'abrégerons en L. S'il existe un vecteur x non nul où Ax = Lx, ce vecteur x est appelé une "valeur propre de A".
Trouver les valeurs propres de la matrice en utilisant l'équation caractéristique det (A -- LI) = 0. "Det" représente le déterminant, et "I" est la matrice d'identité.
Calculer le vecteur propre pour chaque valeur propre en trouvant un espace propre E(L), qui est l'espace nul de l'équation caractéristique. Les vecteurs non nuls de E(L) sont les vecteurs propres de A. Ceux-ci sont trouvés en rebranchant les vecteurs propres dans la matrice caractéristique et en trouvant une base pour A -- LI = 0.
Calculer les valeurs propres à l'aide de l'équation caractéristique. Det (A -- LI) est (3 -- L)(3 -- L) --1 = L^2 -- 6L + 8 = 0, qui est le polynôme caractéristique. La résolution algébrique nous donne L1 = 4 et L2 = 2, qui sont les valeurs propres de notre matrice.
Trouvez le vecteur propre pour L = 4 en calculant l'espace nul. Pour ce faire, placez L1 = 4 dans la matrice caractéristique et trouvez la base de A -- 4I = 0. En résolvant cela, nous trouvons x -- y = 0, ou x = y. Cela n'a qu'une seule solution indépendante puisqu'elles sont égales, telles que x = y = 1. Par conséquent, v1 = (1,1) est un vecteur propre qui couvre l'espace propre de L1 = 4.
Répétez l'étape 6 pour trouver le vecteur propre pour L2 = 2. On trouve x + y = 0, ou x = --y. Cela a également une solution indépendante, disons x = --1 et y = 1. Par conséquent, v2 = (--1,1) est un vecteur propre qui couvre l'espace propre de L2 = 2.