La différence entre la division longue et la division synthétique des polynômes

La division longue polynomiale est une méthode utilisée pour simplifier les fonctions rationnelles polynomiales en divisant un polynôme par un autre polynôme de même degré ou de degré inférieur. C'est utile quand simplification des expressions polynomiales à la main car il décompose un problème complexe en problèmes plus petits. Parfois, un polynôme est divisé par un facteur linéaire sous la forme générale ax + b. Dans ce cas, une méthode de raccourci appelée division synthétique peut être utilisée pour simplifier l'expression rationnelle. Cette méthode est généralement utilisée pour trouver les racines, ou zéros, d'un polynôme.

La division longue avec des polynômes se produit lorsque vous devez simplifier un problème de division impliquant deux polynômes. Le but de la division longue avec des polynômes est similaire à la division longue avec des nombres entiers; pour déterminer si le diviseur est un facteur du dividende et, sinon, le reste après le diviseur est pris en compte dans le dividende. La principale différence ici est que vous divisez maintenant avec des variables.

Le diviseur, en division longue polynomiale, est le dénominateur et le dividende est le numérateur d'une fraction polynomiale. Le problème de division est mis en place exactement comme un problème de division entière avec le diviseur situé à l'extérieur de la parenthèse à gauche et le dividende à l'intérieur de la parenthèse. Divisez le terme principal du dividende par le terme principal du diviseur et placez le résultat au-dessus de la parenthèse. Ce résultat est ensuite multiplié par le diviseur, puis soustrait le résultat du dividende, en reportant tous les termes non impliqués dans la soustraction. Le processus se poursuit jusqu'à ce que vous receviez zéro comme réponse ou que vous ne puissiez plus prendre en compte le terme principal du diviseur dans le dividende.

La division synthétique polynomiale est une forme simplifiée de division polynomiale qui n'est utilisée que dans le cas de la division par un facteur linéaire, un monôme. Il est le plus souvent utilisé pour trouver les racines d'un polynôme. Il supprime les parenthèses de division et les variables utilisées dans la division longue polynomiale et se concentre sur les coefficients du polynôme en question. Cela raccourcit le processus de division et peut causer moins de confusion que la division longue polynomiale typique.

Au lieu du support de division typique comme dans la division longue, dans la division synthétique, vous utilisez des lignes perpendiculaires orientées vers la droite, laissant de la place pour plusieurs rangées de division. Seuls les coefficients du polynôme divisé sont inclus à l'intérieur de la parenthèse, en haut. Tester un nombre suspecté d'être un zéro consiste à placer ce nombre en dehors de la parenthèse, à côté des coefficients polynomiaux. Le premier coefficient est reporté sous le symbole de division, inchangé. Le zéro de test est ensuite multiplié par la valeur reportée et le résultat est ajouté au coefficient suivant. La valeur reportée précédente est multipliée par le nouveau résultat, puis ajoutée au coefficient suivant. La poursuite de ce processus jusqu'au coefficient final révèle un résultat de zéro ou un reste. S'il y a un reste, alors le zéro de test n'est pas un zéro réel du polynôme.