Un nuage de points est un graphique qui montre la relation entre deux ensembles de données. Parfois, il est utile d'utiliser les données contenues dans un nuage de points pour obtenir une relation mathématique entre deux variables. L'équation d'un nuage de points peut être obtenue à la main, en utilisant l'une des deux manières principales: une technique graphique ou une technique appelée régression linéaire.
Création d'un nuage de points
Utilisez du papier quadrillé pour créer un nuage de points. Dessine le X- et oui- axes, s'assurer qu'ils se croisent et étiqueter l'origine. Assurez-vous que le X- et oui- les axes ont également des titres corrects. Ensuite, tracez chaque point de données dans le graphique. Toutes les tendances entre les ensembles de données tracées devraient maintenant être évidentes.
Ligne de meilleur ajustement
Une fois qu'un nuage de points a été créé, en supposant qu'il existe une corrélation linéaire entre deux ensembles de données, nous pouvons utiliser une méthode graphique pour obtenir l'équation. Prenez une règle et tracez une ligne aussi près que possible de tous les points. Essayez de vous assurer qu'il y a autant de points au-dessus de la ligne qu'il y en a en dessous de la ligne. Une fois la ligne tracée, utilisez des méthodes standard pour trouver l'équation de la ligne droite
Équation de la ligne droite
Une fois qu'une ligne de meilleur ajustement a été placée sur un graphique en nuage de points, il est simple de trouver l'équation. L'équation générale d'une droite est :
y = mx + c
Où m est la pente (gradient) de la ligne et c est le oui-intercepter. Pour obtenir le dégradé, trouvez deux points sur la ligne. Pour cet exemple, supposons que les deux points sont (1,3) et (0,1). Le gradient peut être calculé en prenant la différence dans les coordonnées y et en divisant par la différence dans le X-coordonnées :
m = \frac{3 - 1}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2
Le gradient dans ce cas est égal à 2. Jusqu'ici, l'équation de la droite est
y = 2x + c
La valeur pour c peut être obtenu en substituant les valeurs à un point connu. En suivant l'exemple, l'un des points connus est (1,3). Branchez ceci dans l'équation et réorganisez pour c:
3 = (2 × 1) + c \\ c = 3 - 2 = 1
L'équation finale dans ce cas est :
y = 2x + 1
Régression linéaire
La régression linéaire est une méthode mathématique qui peut être utilisée pour obtenir l'équation linéaire d'un nuage de points. Commencez par placer vos données dans un tableau. Pour cet exemple, supposons que nous ayons les données suivantes :
(4.1, 2.2) (6.5, 4.5) (12.6, 10.4)
Calculez la somme des valeurs x :
x_{somme} = 4,1 + 6,5 + 12,6 = 23,2
Ensuite, calculez la somme des valeurs y :
y_{somme} = 2,2 + 4,4 + 10,4 = 17
Additionnez maintenant les produits de chaque ensemble de points de données :
xy_{somme} = (4,1 × 2,2 ) + (6,5 × 4,4 ) + (12,6 × 10,4) = 168,66
Ensuite, calculez la somme des valeurs x au carré et des valeurs y au carré :
x^2_{somme} = (4,1^2) + (6,5^2) + (12,6^2) = 217,82
y^2_{somme} = (2,2^2) + (4,5^2) + (10,4^2) = 133,25
Enfin, comptez le nombre de points de données dont vous disposez. Dans ce cas, nous avons trois points de données (N=3). Le gradient de la ligne la mieux ajustée peut être obtenu à partir de :
m = \frac{(N × xy_{somme}) - (x_{somme} × y_{somme})}{(N × x^2_{somme}) - (x_{somme} × x_{somme})} \\ \, \\ = \frac{(3 × 168,66) - (23,2 × 17)}{(3 × 217,82) - (23,2 × 23,2)} \\ \, \\ = 0,968
L'interception de la ligne la mieux ajustée peut être obtenue à partir de :
\begin{aligned} c &= \frac{(x^2_{sum} × y_{sum} ) - (x_{sum} × xy_{sum})}{(N × x^2_{sum}) - ( x_{somme} × x_{somme})} \\ \,\\ &= \frac{ (217,82 × 17) - (23,2 × 168,66)}{(3 × 217,82) - (23,2 × 23,2)} \\ \,\\ &= -1,82 \end{aligné}
L'équation finale est donc :
y = 0,968x - 1,82