L'une des opérations importantes que vous effectuez en calcul consiste à trouver des dérivés. La dérivée d'une fonction est également appelée taux de variation de cette fonction. Par exemple, si x (t) est la position d'une voiture à un instant t, alors la dérivée de x, qui s'écrit dx/dt, est la vitesse de la voiture. De plus, la dérivée peut être visualisée comme la pente d'une ligne tangente au graphique d'une fonction. Au niveau théorique, c'est ainsi que les mathématiciens trouvent des dérivés. En pratique, les mathématiciens utilisent des ensembles de règles de base et des tables de recherche.
La dérivée comme pente
La pente d'une ligne entre deux points est la montée, ou la différence des valeurs y divisée par la course, ou la différence des valeurs x. La pente d'une fonction y (x) pour une certaine valeur de x est définie comme étant la pente d'une droite tangente à la fonction au point [x, y (x)]. Pour calculer la pente, vous construisez une ligne entre le point [x, y (x)] et un point voisin [x+h, y (x+h)], où h est un très petit nombre. Pour cette ligne, la course ou le changement de la valeur x est h, et l'augmentation, ou le changement de la valeur y, est y (x+h) - y (x). Par conséquent, la pente de y (x) au point [x, y (x)] est approximativement égale à [y (x+h) - y (x)]/[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)]/h. Pour obtenir la pente exactement, vous calculez la valeur de la pente au fur et à mesure que h devient de plus en plus petit, jusqu'à la "limite" où il va à zéro. La pente ainsi calculée est la dérivée de y (x), qui s'écrit y'(x) ou dy/dx.
La dérivée d'une fonction de puissance
Vous pouvez utiliser la méthode pente/limite pour calculer les dérivées des fonctions où y est égal à x à la puissance a, ou y (x) = x^a. Par exemple, si y est égal à x au cube, y (x) = x^3, alors dy/dx est la limite lorsque h tend vers zéro de [(x + h)^3 - x^3]/h. Développer (x+h)^3 donne [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3]/h, ce qui réduit à 3x^2 + 3xh^2 + h^2 après avoir divisé par h. Dans la limite où h tend vers zéro, tous les termes contenant h vont également vers zéro. Donc, y'(x) = dy/dx = 3x^2. Vous pouvez le faire pour les valeurs de a autres que 3, et en général, vous pouvez montrer que d/dx (x^a) = (a - 1)x^(a-1).
Dérivé d'une série de puissance
De nombreuses fonctions peuvent être écrites comme ce qu'on appelle une série entière, qui est la somme d'un nombre infini de termes, où chacun est de la forme C(n) x^n, où x est une variable, n est un entier et C(n) est un nombre spécifique pour chaque valeur de n.m. Par exemple, la série entière pour la fonction sinus est Sin (x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 +..., où "..." signifie des termes continuant sur à l'infini. Si vous connaissez la série entière d'une fonction, vous pouvez utiliser la dérivée de la puissance x^n pour calculer la dérivée de la fonction. Par exemple, la dérivée de Sin (x) est égale à 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 +..., qui se trouve être la série de puissances pour Cos (x).
Dérivés de tableaux
Les dérivées de fonctions de base telles que les puissances comme x^a, les fonctions exponentielles, les fonctions log et les fonctions trigonométriques, sont trouvées en utilisant la méthode pente/limite, la méthode des séries de puissance ou d'autres méthodes. Ces dérivés sont ensuite répertoriés dans des tableaux. Par exemple, vous pouvez rechercher que la dérivée de Sin (x) est Cos (x). Lorsque des fonctions complexes sont des combinaisons des fonctions de base, vous avez besoin de règles spéciales telles que la règle de chaîne et la règle de produit, qui sont également données dans les tableaux. Par exemple, vous utilisez la règle de la chaîne pour trouver que la dérivée de Sin (x^2) est 2xCos (x^2). Vous utilisez la règle du produit pour trouver que la dérivée de xSin (x) est xCos (x) + Sin (x). En utilisant des tableaux et des règles simples, vous pouvez trouver la dérivée de n'importe quelle fonction. Mais lorsqu'une fonction est extrêmement complexe, les scientifiques ont parfois recours à des programmes informatiques pour obtenir de l'aide.