Une courbe normale est le nom du graphique de la distribution de probabilité normale standard, ce dont les gens parlent (souvent sans le savoir) lorsqu'ils mentionnent une "courbe en cloche" montrant où se situent les gens ou d'autres variables par rapport à une moyenne ou à une moyenne de la population.
Une courbe normale standard fournit à la fois une représentation visuelle et numérique de la façon dont une variable donnée est distribuée dans une population lorsque la situation réelle représentée par la fonction est connue pour avoir une distribution symétrique dans la population d'intérêt (d'où la "cloche" façonner). Cela pourrait inclure le QI ou la taille chez les hommes, qui est aussi susceptible de varier d'un côté de la moyenne que de l'autre, et il est également susceptible de varier de la même ampleur.
Toutes les courbes normales et leurs données associées ont certains attributs en commun qui permettent la génération de tableaux numériques qui permettent de résoudre des valeurs d'aire au lieu de calculs mathématiques plus complexes calculs.
La distribution normale standard
Dans toute distribution normale, par définition, un peu moins de 68 pour cent des points de données se situent dans un écart type de la moyenne de la population ou de l'échantillon de population. Environ 95 % se situent à moins de deux écarts types et 99,9 % se situent à moins de trois écarts types.
Chaque marque d'écart type se voit attribuer une valeur entière autour de la moyenne (par exemple, -3, -2, 1, 1, 2, 3) et la valeur variable z. Cette valeur, ou z-score, peut également prendre des valeurs non entières (par exemple, -2,58).
Les scores Z sont utilisés pour déterminer la probabilité qu'un événement se produise dans une plage de possibilités spécifiée. Par exemple, si on vous dit que la moyenne et l'écart type du QI (quotient intellectuel) sont de 100 et 20 points, ce qui fait z = 0 pour QI = 100 et z = 1,0 pour QI = 120, et on vous demande de donner la probabilité qu'une personne choisie au hasard ait un QI de 140 ou plus, vous utilisez une table z pour arriver à une solution.
L'aire sous la courbe normale
Dans la plupart des cas en mathématiques, l'aire sous la courbe du graphique d'une équation est trouvée en manipulant les éléments uniques de cette équation directement, par exemple en intégrant la courbe entre les coordonnées x de intérêt. Avec la courbe normale, vous recherchez plutôt un ou deux nombres sur une table appelée valeurs z et, si nécessaire, effectuez une étape de soustraction.
La zone sous toute la courbe normale, quelle que soit sa forme précise, reçoit la valeur 1,0. Toutes les zones partielles sous le courbe normale sont donc des nombres décimaux compris entre 0 et 1 et peuvent être facilement convertis en pourcentages en les multipliant par 100.
Les tableaux Z permettent des lectures jusqu'à la centième place du score pour donner des zones à quatre ou cinq chiffres significatifs. Cela se fait en obtenant la dixième place sur l'axe de gauche, puis en lisant sur la ligne appropriée pour obtenir la centième place.
- Cela explique pourquoi la proportion de la zone à gauche de z = -2,58 est de 0,00494.
Distribution normale: zone entre deux points
Supposons que dans un test avec une moyenne de 80 et un écart type de 10, vous vouliez savoir quel pourcentage d'étudiants a obtenu des notes comprises entre 65 et 85.
Vous commenceriez par trouver le scores z supérieurs et inférieurs. Cela se fait en soustrayant la moyenne de votre limite supérieure et en divisant par l'écart type: (85 - 80)/10 = 0,50. Vous trouvez alors la borne inférieure de la même manière: (65 - 80)/10 -1,50.
Maintenant, vous pouvez affecter des valeurs de zone à ces scores z en vous référant au tableau. Ces valeurs sont 0,68916 pour z = 0,5 et 0,06681 pour z = 1,5. Chacune de ces zones représente la zone sous la courbe de la "queue" gauche à la valeur x en question, donc pour la zone entre les deux points x = 65 et x = 85, vous soustrayez la plus petite valeur de la plus grande pour obtenir 0.63135.
Ainsi, 63,1 pour cent des scores devraient se situer dans la plage de 65 à 85 étant donné un écart type de 10 dans une distribution normale.