Disons que vous avez une fonction, y = f (x), où y est une fonction de x. Peu importe la relation spécifique. Ce pourrait être y = x^2, par exemple, une parabole simple et familière passant par l'origine. Ce pourrait être y = x^2 + 1, une parabole avec une forme identique et un sommet une unité au-dessus de l'origine. Il pourrait s'agir d'une fonction plus complexe, telle que y = x^3. Quelle que soit la fonction, une ligne droite passant par deux points quelconques de la courbe est une ligne sécante.
Prenez les valeurs x et y pour deux points que vous savez être sur la courbe. Les points sont donnés comme (valeur x, valeur y), donc le point (0, 1) signifie le point sur le plan cartésien où x = 0 et y = 1. La courbe y = x^2 + 1 contient le point (0, 1). Il contient également le point (2, 5). Vous pouvez le confirmer en insérant chaque paire de valeurs pour x et y dans l'équation et en vous assurant que l'équation s'équilibre les deux fois: 1 = 0 + 1, 5 = 2^2 + 1. (0, 1) et (2, 5) sont des points de la courbe y = x^2 +1. Une ligne droite entre eux est une sécante et (0, 1) et (2, 5) feront également partie de cette ligne droite.
Déterminez l'équation de la ligne droite passant par ces deux points en choisissant des valeurs qui satisfont à l'équation y = mx + b -- l'équation générale pour toute ligne droite -- pour les deux points. Vous savez déjà que y = 1 lorsque x vaut 0. Cela signifie 1 = 0 + b. Donc b doit être égal à 1.
Remplacez les valeurs de x et y au deuxième point dans l'équation y = mx + b. Vous savez y = 5 quand x = 2 et vous savez b = 1. Cela vous donne 5 = m (2) + 1. Donc m doit être égal à 2. Maintenant, vous connaissez à la fois m et b. La ligne sécante entre (0, 1) et (2, 5) est y = 2x + 1
Choisissez une autre paire de points sur votre courbe et vous pouvez déterminer une nouvelle ligne sécante. Sur la même courbe, y = x^2 + 1, vous pourriez prendre le point (0, 1) comme vous l'avez fait auparavant, mais cette fois, sélectionnez (1, 2) comme deuxième point. Mettez (1, 2) dans l'équation de la courbe et vous obtenez 2 = 1^2 + 1, ce qui est évidemment correct, donc vous savez que (1, 2) est également sur la même courbe. La ligne sécante entre ces deux points est y = mx + b: en mettant 0 et 1 pour x et y, vous obtiendrez: 1 = m (0) + b, donc b est toujours égal à un. En insérant la valeur du nouveau point, (1, 2) vous donne 2 = mx + 1, qui s'équilibre si m est égal à 1. L'équation de la ligne sécante entre (0, 1) et (1, 2) est y = x + 1.
Les références
- Université de Californie, Santa Barbara: lignes sécantes, lignes tangentes et définition limite d'une dérivée.
- Wolfram Math World: ligne sécante
Conseils
- Notez que la ligne sécante change lorsque vous choisissez un deuxième point plus proche du premier point. Vous pouvez toujours choisir un point sur la courbe plus proche qu'auparavant et obtenir une nouvelle ligne sécante. Au fur et à mesure que votre deuxième point se rapproche de votre premier point, la ligne sécante entre les deux se rapproche de la tangente à la courbe au premier point.
A propos de l'auteur
Andrew Breslin écrit professionnellement depuis 1994. Ses articles et articles d'opinion ont été publiés dans le "South Florida Sun Sentinel", "St Paul Pioneer Press", "Detroit Free Press", "Charlotte Observer", "Good Medicine" et d'autres. Il a étudié la biologie moléculaire à l'Université de Westchester et écrit fréquemment sur la science et les mathématiques.
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