Les expressions rationnelles semblent plus compliquées que les nombres entiers de base, mais les règles pour les multiplier et les diviser sont faciles à comprendre. Qu'il s'agisse d'une expression algébrique compliquée ou d'une simple fraction, les règles de multiplication et de division sont fondamentalement les mêmes. Après avoir appris ce que sont les expressions rationnelles et comment elles se rapportent aux fractions ordinaires, vous serez en mesure de les multiplier et de les diviser en toute confiance.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
La multiplication et la division d'expressions rationnelles fonctionnent exactement comme la multiplication et la division de fractions. Pour multiplier deux expressions rationnelles, multipliez les numérateurs ensemble, puis multipliez les dénominateurs ensemble.
Pour diviser une expression rationnelle par une autre, suivez les mêmes règles que pour diviser une fraction par une autre. Tout d'abord, retournez la fraction du diviseur (par laquelle vous divisez), puis multipliez-la par la fraction du dividende (que vous divisez).
Qu'est-ce qu'une expression rationnelle ?
Le terme « expression rationnelle » décrit une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Un polynôme est une expression comme
2x^2 + 3x + 1
composé de constantes, de variables et d'exposants (qui ne sont pas négatifs). L'expression suivante :
\frac{x + 5}{x^2 - 4}
Fournit un exemple d'expression rationnelle. Cela a essentiellement la forme d'une fraction, juste avec un numérateur et un dénominateur plus compliqués. Notez que les expressions rationnelles ne sont valides que lorsque le dénominateur n'est pas égal à zéro, donc l'exemple ci-dessus n'est valide que lorsqueX ≠ 2.
Multiplication d'expressions rationnelles
La multiplication d'expressions rationnelles suit fondamentalement les mêmes règles que la multiplication de n'importe quelle fraction. Lorsque vous multipliez une fraction, vous multipliez un numérateur par l'autre et un dénominateur par l'autre, et lorsque vous multipliez expressions rationnelles, vous multipliez un numérateur entier par l'autre numérateur et le dénominateur entier par l'autre dénominateur.
Pour une fraction tu écris :
\begin{aligned} \frac{2}{5} × \frac{4}{7} &= \frac{2 × 4}{5 × 7} \\ \,\\ &= \frac{8}{ 35} \end{aligné}
Pour deux expressions rationnelles, vous utilisez le même processus de base :
\begin{aligned} \frac{x + 5}{x - 4} × \frac{x}{x + 1} &= \frac{(x + 5) × x}{(x - 4) × (x + 1)} \\ \,\\ &= \frac{x^2 + 5x}{x^2 -4x + x - 4} \\ \,\\ &= \frac{x^2 + 5x}{ x^2 - 3x - 4} \end{aligné}
Lorsque vous multipliez un nombre entier (ou une expression algébrique) par une fraction, vous multipliez simplement le numérateur de la fraction par le nombre entier. C'est parce que tout nombre entiermpeut être écrit commem/ 1, puis en suivant les règles standard de multiplication de fractions, le facteur 1 ne change pas le dénominateur. L'exemple suivant illustre cela :
\begin{aligned} \frac{x + 5}{x^2 - 4} × x &= \frac{x + 5}{x^2 - 4} × \frac{x}{1} \\ \, \\ &= \frac{(x + 5) × x}{(x^2 - 4) × 1}\\ \,\\ =& \frac{x^2 + 5x}{x^2 - 4} \end{aligné}
Division d'expressions rationnelles
Tout comme la multiplication d'expressions rationnelles, la division d'expressions rationnelles suit les mêmes règles de base que la division de fractions. Lorsque vous divisez deux fractions, vous retournez la deuxième fraction comme première étape, puis vous multipliez. Donc:
\begin{aligned} \frac{4}{5} ÷ \frac{3}{2} &= \frac{4}{5} × \frac{2}{3} \\ \,\\ &= \ frac{4 × 2}{5 × 3} \\ \,\\ &= \frac{8}{15} \end{aligned}
La division de deux expressions rationnelles fonctionne de la même manière, donc :
\begin{aligned} \frac{x + 3}{2x^2} ÷ \frac{4}{3x} &= \frac{x + 3}{2x^2} × \frac{3x}{4} \ \ \,\\ &= \frac{(x + 3) × 3x}{2x^2 × 4} \\ \,\\ &= \frac{3x^2 + 9x}{8x^2} \end{ aligné}
Cette expression peut être simplifiée, car il y a un facteur deX(comprenantX2) à la fois dans le numérateur et un facteur deX2 au dénominateur. Un ensemble deXs peut annuler pour donner :
\begin{aligné} \frac{3x^2 + 9x}{8x^2} &= \frac{x (3x + 9)} {8x^2} \\ &= \frac{3x + 9}{8x} \end{aligné}
Vous ne pouvez simplifier les expressions que lorsque vous pouvez supprimer un facteur de l'expression entière en haut et en bas comme ci-dessus. L'expression suivante :
\frac{x - 1}{x}
Ne peut pas être simplifié de la même manière car leXau dénominateur divise le terme entier au numérateur. Vous pourriez écrire :
\begin{aligned} \frac{x-1}{x} &= \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \\ &= 1 - \frac{1}{x} \end {aligné}
Si tu le voulais, quand même.