Peu de choses font peur à l'étudiant débutant en algèbre comme voir des exposants - des expressions telles queoui2, X3 ou même l'horribleouiX– apparaissent dans les équations. Afin de résoudre l'équation, vous devez d'une manière ou d'une autre faire disparaître ces exposants. Mais en vérité, ce processus n'est pas si difficile une fois que vous avez appris une série de stratégies simples, dont la plupart sont enracinées dans les opérations arithmétiques de base que vous utilisez depuis des années.
Simplifier et combiner des termes similaires
Parfois, si vous êtes chanceux, vous pouvez avoir des termes exposants dans une équation qui s'annulent. Par exemple, considérons l'équation suivante :
y + 2x^2 - 5 = 2(x^2 + 2)
Avec un œil attentif et un peu de pratique, vous remarquerez peut-être que les termes exposants s'annulent en fait, ainsi :
Une fois que vous avez simplifié le côté droit de l'exemple d'équation, vous verrez que vous avez des termes d'exposant identiques des deux côtés du signe égal :
y + 2x^2 - 5 = 2x^2 + 4
Soustraire 2X2 des deux côtés de l'équation. Comme vous avez effectué la même opération des deux côtés de l'équation, vous n'avez pas modifié sa valeur. Mais vous avez effectivement supprimé l'exposant, vous laissant avec :
y - 5 = 4
Si vous le souhaitez, vous pouvez terminer la résolution de l'équation pourouien ajoutant 5 des deux côtés de l'équation, ce qui vous donne :
y = 9
Souvent, les problèmes ne seront pas aussi simples, mais cela reste une opportunité à rechercher.
Cherchez des occasions de factoriser
Avec le temps, la pratique et de nombreux cours de mathématiques, vous collecterez des formules pour factoriser certains types de polynômes. C'est un peu comme collecter des outils que vous gardez dans une boîte à outils jusqu'à ce que vous en ayez besoin. L'astuce consiste à apprendre à identifier quels polynômes peuvent être facilement factorisés. Voici quelques-unes des formules les plus courantes que vous pouvez utiliser, avec des exemples d'application :
Si votre équation contient deux nombres au carré avec un signe moins entre eux - par exemple,X2 − 42 – vous pouvez les factoriser en utilisant la formuleune2 − b2 = (a + b)(a − b). Si vous appliquez la formule à l'exemple, le polynômeX2 − 42 facteurs à (X + 4)(X − 4).
L'astuce ici est d'apprendre à reconnaître les nombres au carré même s'ils ne sont pas écrits comme des exposants. Par exemple, l'exemple deX2 − 42 est plus susceptible d'être écrit commeX2 − 16.
Si votre équation contient deux nombres au cube qui sont additionnés, vous pouvez les factoriser en utilisant la formule
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Prenons l'exemple deoui3 + 23, que vous êtes plus susceptible de voir écrit sous la formeoui3 + 8. Lorsque vous remplacezouiet 2 dans la formule pouruneetbrespectivement, vous avez :
(y + 2)(y^2 - 2y + 2^2)
Évidemment, l'exposant n'a pas complètement disparu, mais parfois ce type de formule est une étape intermédiaire utile pour s'en débarrasser. Par exemple, factoriser ainsi le numérateur d'une fraction peut créer des termes que vous pouvez ensuite annuler avec des termes du dénominateur.
Si votre équation contient deux nombres au cube avec unsoustraitde l'autre, vous pouvez les factoriser en utilisant une formule très similaire à celle montrée dans l'exemple précédent. En fait, l'emplacement du signe moins est la seule différence entre eux, car la formule de la différence des cubes est :
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Prenons l'exemple deX3 − 53, qui s'écrirait plus vraisemblablementX3 − 125. SubstitutionXpouruneet 5 pourb, vous obtenez:
(x - 5)(x^2 + 5x + 5^2)
Comme auparavant, bien que cela n'élimine pas entièrement l'exposant, cela peut être une étape intermédiaire utile en cours de route.
Isoler et appliquer un radical
Si aucune des astuces ci-dessus ne fonctionne et que vous n'avez qu'un seul terme contenant un exposant, vous pouvez utiliser la méthode la plus courante pour "se débarrasser de" l'exposant: Isolez le terme exposant d'un côté de l'équation, puis appliquez le radical approprié aux deux côtés de l'équation équation. Prenons l'exemple de
z^3 - 25 = 2
Isolez le terme exposant en ajoutant 25 des deux côtés de l'équation. Cela vous donne :
z^3 = 27
L'index de la racine que vous appliquez, c'est-à-dire le petit nombre en exposant avant le signe radical, doit être le même que l'exposant que vous essayez de supprimer. Donc, parce que le terme exposant dans l'exemple est un cube ou une troisième puissance, vous devez appliquer une racine cubique ou une troisième racine pour le supprimer. Cela vous donne :
\sqrt[3]{z^3} = \sqrt[3]{27}
Ce qui à son tour se simplifie en :
z = 3