La meilleure façon de factoriser des polynômes avec des fractions commence par réduire les fractions à des termes plus simples. Les polynômes représentent des expressions algébriques avec deux termes ou plus, plus précisément, la somme de plusieurs termes qui ont différentes expressions de la même variable. Les stratégies qui aident à simplifier les polynômes consistent à factoriser le plus grand facteur commun, puis à regrouper l'équation dans ses termes les plus bas. La même chose est vraie même lors de la résolution de polynômes avec des fractions.
Polynômes avec fractions définies
Vous avez trois façons d'afficher les polynômes de l'expression avec des fractions. La première interprétation concerne les polynômes avec des fractions pour les coefficients. En algèbre, le coefficient est défini comme la quantité numérique ou constante trouvée avant une variable. En d'autres termes, les coefficients pour 7_a_, b et (1/3)c sont respectivement 7, 1 et (1/3). Deux exemples, par conséquent, de polynômes avec des coefficients de fraction seraient :
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 \text{ et } x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}
La deuxième interprétation de « polynômes avec fractions » fait référence aux polynômes existant en fraction ou en rapport forme avec un numérateur et un dénominateur, où le polynôme du numérateur est divisé par le dénominateur polynôme. Par exemple, cette seconde interprétation est illustrée par :
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2 + 11x + 18}
La troisième interprétation, quant à elle, concerne la décomposition en fractions partielles, également appelée expansion en fractions partielles. Parfois, les fractions polynomiales sont complexes de sorte que lorsqu'elles sont "décomposées" ou "décomposées" en termes plus simples, ils sont présentés comme des sommes, des différences, des produits ou des quotients de polynômes fractions. Pour illustrer, la fraction polynomiale complexe de :
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
est évalué par décomposition en fractions partielles, qui, incidemment, implique la factorisation de polynômes, pour être, dans sa forme la plus simple :
\bigg(\frac{3}{x+2}\bigg)+\bigg(\frac{5}{x-1}\bigg)
Principes de base de l'affacturage - Propriété distributive et méthode FOIL
Les facteurs représentent deux nombres qui, multipliés ensemble, équivalent à un troisième nombre. Dans les équations algébriques, la factorisation détermine quelles quantités ont été multipliées ensemble pour arriver à un polynôme donné. La propriété distributive est fortement suivie lors de la multiplication de polynômes. La propriété distributive permet essentiellement de multiplier une somme en multipliant chaque nombre individuellement avant d'ajouter les produits. Observez, par exemple, comment la propriété distributive est appliquée dans l'exemple de :
7(10x + 5) \text{ pour arriver au binôme de } 70x + 35.
Mais, si deux binômes sont multipliés ensemble, une version étendue de la propriété distributive est utilisée via la méthode FOIL. FOIL représente l'acronyme des termes First, Outer, Inner et Last multipliés. Par conséquent, la factorisation des polynômes implique d'effectuer la méthode FOIL à l'envers. Prenons les deux exemples susmentionnés avec les polynômes contenant des coefficients de fraction. L'exécution de la méthode FOIL à l'envers sur chacun d'eux donne les facteurs de
\bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
pour le premier polynôme, et les facteurs de
\bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{2}\bigg)
pour le deuxième polynôme.
Exemple:
\frac{1}{4}x^2 + 6x + 20 = \bigg(\frac{1}{2}x + 2\bigg)\bigg(\frac{1}{2}x + 10\bigg)
Exemple:
x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8} = \bigg (x + \frac{1}{4}\bigg)\bigg (x + \frac{1}{ 2}\gros)
Étapes à suivre lors de la factorisation de fractions polynomiales
D'en haut, les fractions polynomiales impliquent un polynôme au numérateur divisé par un polynôme au dénominateur. L'évaluation des fractions polynomiales nécessite donc de factoriser le polynôme numérateur d'abord suivi de la factorisation du polynôme dénominateur. Il aide à trouver le plus grand facteur commun, ou GCF, entre le numérateur et le dénominateur. Une fois que le GCF du numérateur et du dénominateur est trouvé, il s'annule, réduisant finalement toute l'équation en termes simplifiés. Considérez l'exemple de fraction polynomiale d'origine ci-dessus de
\frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18}
La factorisation des polynômes du numérateur et du dénominateur pour trouver le GCF donne :
\frac{(x + 2)(x + 5)}{(x + 2)(x + 9)}
avec le GCF étant (X + 2).
Le GCF au numérateur et au dénominateur s'annulent pour fournir la réponse finale dans les termes les plus bas de (X + 5) ÷ (X + 9).
Exemple:
\begin{aligned} \frac{x^2 + 7x + 10}{x^2+ 11x + 18} &= \frac{\cancel{(x + 2)}(x + 5)}{\cancel{( x + 2)}(x + 9)} \\ &=\frac{x + 5}{x + 9} \end{aligné}
Évaluation des équations via la décomposition en fractions partielles
La décomposition en fractions partielles, qui implique la factorisation, est un moyen de réécrire des équations de fractions polynomiales complexes sous une forme plus simple. Reprenant l'exemple ci-dessus de
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2}
Simplifier le dénominateur
Simplifiez le dénominateur pour obtenir :
\frac{8x + 7}{x^2 + x - 2} = \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)}
Réorganiser le numérateur
Ensuite, réorganisez le numérateur de sorte qu'il commence à avoir les GCF présents dans le dénominateur, pour obtenir :
\begin{aligné} \frac{8x + 7}{(x + 2)(x - 1)} &= \frac{ 3x + 5x - 3 + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \ \ &= \frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} \\ \end{aligné}
Pour l'addend gauche, le GCF est (X - 1), tandis que pour l'addend droit, le GCF est (X + 2), qui s'annulent au numérateur et au dénominateur, comme on le voit dans :
\frac{3x - 3}{(x + 2)(x - 1)} + \frac{5x + 10 }{(x + 2)(x - 1)} = \frac{3\annuler{(x - 1)}}{(x + 2)\annuler{(x - 1)}} + \frac{5\annuler{(x + 2)}}{\annuler{(x + 2)}(x - 1) }
Ainsi, lorsque les GCF s'annulent, la réponse simplifiée finale est :
\frac{3}{x + 2} + \frac{5}{x - 1}
comme solution de la décomposition de la fraction partielle.