Chaque étudiant en algèbre de niveaux supérieurs doit apprendre à résoudre des équations quadratiques. Il s'agit d'un type d'équation polynomiale qui comprend une puissance de 2 mais aucune plus élevée, et elles ont la forme générale :hache2 + bx + c= 0. Vous pouvez les résoudre en utilisant la formule de l'équation quadratique, en factorisant ou en complétant le carré.
TL; DR (trop long; n'a pas lu)
Cherchez d'abord une factorisation pour résoudre l'équation. S'il n'y en a pas d'autre que lebcoefficient est divisible par 2, complétez le carré. Si aucune approche n'est facile, utilisez la formule d'équation quadratique.
Utilisation de la factorisation pour résoudre l'équation
La factorisation exploite le fait que le membre de droite de l'équation quadratique standard est égal à zéro. Cela signifie que si vous pouvez diviser l'équation en deux termes entre parenthèses multipliés l'un par l'autre, vous pouvez trouver les solutions en réfléchissant à ce qui rendrait chaque parenthèse égale à zéro. Pour donner un exemple concret :
x^2 + 6x + 9 = 0
Comparez ceci au formulaire standard :
ax^2 + bx + c = 0
Dans l'exemple,une = 1, b= 6 etc= 9. Le défi de la factorisation est de trouver deux nombres qui s'additionnent pour donner le nombre dans lebrepérer et multiplier ensemble pour obtenir le nombre à la place pourc.
Donc, représenter les nombres parréete, vous recherchez des nombres qui satisfont :
d + e = b
Ou dans ce cas, avecb = 6:
d + e = 6
Et
d × e = c
Ou dans ce cas, avecc = 9:
d × e = 9
Concentrez-vous sur la recherche de nombres qui sont des facteurs dec, puis additionnez-les pour voir s'ils sont égauxb. Lorsque vous avez vos numéros, mettez-les dans le format suivant :
(x + d) (x + e)
Dans l'exemple ci-dessus, les deuxréetesont 3 :
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Si vous multipliez les parenthèses, vous vous retrouverez à nouveau avec l'expression d'origine, et c'est une bonne pratique pour vérifier votre factorisation. Vous pouvez exécuter ce processus (en multipliant tour à tour la première, l'intérieur, l'extérieur, puis la dernière partie des crochets - voir Ressources pour plus de détails) pour le voir à l'envers :
\begin{aligné} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \\ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \\ &= x^2 + 6x + 9 \\ \end{aligné}
La factorisation parcourt effectivement ce processus à l'envers, mais il peut être difficile de déterminer le bonne façon de factoriser l'équation quadratique, et cette méthode n'est pas idéale pour chaque équation quadratique pour ce raison. Souvent, vous devez deviner une factorisation et ensuite la vérifier.
Le problème est maintenant de faire en sorte que l'une des expressions entre parenthèses soit égale à zéro grâce à votre choix de valeur pourX. Si l'un des crochets est égal à zéro, toute l'équation est égale à zéro et vous avez trouvé une solution. Regardez la dernière étape [(X + 3) (X+ 3) = 0] et vous verrez que le seul moment où les parenthèses sortent à zéro est siX= −3. Dans la plupart des cas, cependant, les équations quadratiques ont deux solutions.
La factorisation est encore plus difficile siunen'est pas égal à un, mais se concentrer sur des cas simples est préférable au début.
Compléter le carré pour résoudre l'équation
Compléter le carré vous aide à résoudre des équations quadratiques qui ne peuvent pas être facilement factorisées. Cette méthode peut fonctionner pour n'importe quelle équation quadratique, mais certaines équations lui conviennent plus que d'autres. L'approche consiste à transformer l'expression en un carré parfait et à le résoudre. Un carré parfait générique se développe comme ceci :
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
Pour résoudre une équation quadratique en complétant le carré, mettez l'expression dans le formulaire à droite de ce qui précède. Divisez d'abord le nombre dans lebposition par 2, puis carré le résultat. Donc pour l'équation :
x^2 + 8x = 0
Le coefficientb= 8, doncb2 = 4 et (b ÷ 2)2 = 16.
Ajoutez ceci des deux côtés pour obtenir :
x^2 + 8x + 16 = 16
Notez que cette forme correspond à la forme carrée parfaite, avecré= 4, donc 2ré= 8 etré2 = 16. Cela signifie que:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
Insérez ceci dans l'équation précédente pour obtenir :
(x + 4)^2 = 16
Résolvez maintenant l'équation deX. Prendre la racine carrée des deux côtés pour obtenir :
x + 4 = \sqrt{16}
Soustrayez 4 des deux côtés pour obtenir :
x = \sqrt{16} - 4
La racine peut être positive ou négative, et prendre la racine négative donne :
x = -4 - 4 = -8
Trouvez l'autre solution avec la racine positive :
x = 4 - 4 = 0
Par conséquent, la seule solution non nulle est -8. Vérifiez cela avec l'expression d'origine pour confirmer.
Utilisation de la formule quadratique pour résoudre l'équation
La formule d'équation quadratique semble plus compliquée que les autres méthodes, mais c'est la méthode la plus fiable, et vous pouvez l'utiliser sur n'importe quelle équation quadratique. L'équation utilise les symboles de l'équation quadratique standard :
ax^2 + bx + c = 0
Et précise que :
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Insérez les nombres appropriés à leur place et résolvez la formule en vous souvenant d'essayer à la fois de soustraire et d'ajouter le terme racine carrée et de noter les deux réponses. Pour l'exemple suivant :
x^2 + 6x + 5 = 0
Vous avezune = 1, b= 6 etc= 5. La formule donne donc :
\begin{aligné} x &= \frac{-6 ± \sqrt{6^2 - 4×1×5}}{2×1} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{36 - 20} }{2} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{-6 ± 4}{2} \end{aligned}
Prendre le signe positif donne :
\begin{aligned} x &= \frac{-6 + 4}{2} \\ &= \frac{-2}{2} \\ &= -1 \end{aligned}
Et prendre le signe négatif donne :
\begin{aligned} x &= \frac{-6 - 4}{2} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5 \end{aligned}
Quelles sont les deux solutions de l'équation.
Comment déterminer la meilleure méthode pour résoudre des équations quadratiques
Recherchez une factorisation avant d'essayer autre chose. Si vous pouvez en repérer un, c'est le moyen le plus rapide et le plus simple de résoudre une équation quadratique. N'oubliez pas que vous cherchez deux nombres qui totalisent lebcoefficient et multipliez pour donner leccoefficient. Pour cette équation :
x^2 + 5x + 6 = 0
Vous pouvez remarquer que 2 + 3 = 5 et 2 × 3 = 6, donc :
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
EtX= -2 ouX = −3.
Si vous ne voyez pas de factorisation, vérifiez si lebcoefficient est divisible par 2 sans recourir à des fractions. Si c'est le cas, compléter le carré est probablement le moyen le plus simple de résoudre l'équation.
Si aucune approche ne semble appropriée, utilisez la formule. Cela semble être l'approche la plus difficile, mais si vous êtes dans un examen ou si vous êtes pressé par le temps, cela peut rendre le processus beaucoup moins stressant et beaucoup plus rapide.